Morjensta
Koitan tässä ratkaista yhtälöryhmää 2x + y = 1; x - y = 0. Tämän pitäisi olla ihan peruskamaa, kun on nämä opetellut koulussa, mutta minulla ei ole sitä vielä tullut vastaan. Kysymys: Voisiko joku ystävällisesti antaa jonkin kaavan, miten tämä lasketaan?
x-y=0 => x=y
Sitten voidaan sijoittaa jompi kumpi toisen tilalle
2x + y = 1 =>
2x + x = 1 =>
3x = 1 =>
x = 1/3
y = 1/3
Yhtälöt voi kans laskee vaikka kivasti allekkain yhteen
2x + y = 1
x - y = 0
----------
3x = 1
x = 1/3
Deffi kirjoitti:
Yhtälöt voi kans laskee vaikka kivasti allekkain yhteen
2x + y = 1
x - y = 0
----------
3x = 1
x = 1/3
Jos yhtälöpari onkin esim. 2x - y = 1, x - y = 0, niin on silloin on kerrottuva tai jaettava ainakin toinen yhtälöistä sellaisella luvulla, että toinen tuntemattomista saadaan supistumaan pois...
2x - y = 1 |*(-1)
x - y = 0
-2x + y = -1
x - y = 0
-------------------
-x = -1 |:(-1)
x = 1
1 - y = 0
- y = -1 |:(-1)
y = 1
Offtopic: Oletko 7:lla? Eikös nuo joskus silloin opeteltu?
Ei suinkaan tarvitse, koska alemmasta yhtälöstä selviää, että x = y. Tämä voidaan sijoittaa ylempään yhtälöön, jolloin saadaan, että 2y - y = 1, josta edelleen y = 1. Aiemmasta ratkaisusta saatiin, että x = y, joten x = y = 1.
Jalmari91 kirjoitti:
Offtopic: Oletko 7:lla? Eikös nuo joskus silloin opeteltu?
En ;) Alempana, mutta ei se estä opiskelua kun ymmärtää jotakin. Nämä laskut olivat ylioppilaskirjoituksissa vuonna 2008. Melkos suuri osa jo ratkaistuna näistä. http://www.aamulehti.fi/extrakuvat/
Eli x = 0,333 ja y = 0,333? Kummallista, että saan aina vastaukset ennemmin tongittua kuin muotoiltua itse laskun.
Jalmari91 kirjoitti:
Offtopic: Oletko 7:lla? Eikös nuo joskus silloin opeteltu?
Itse asiassa tuo opetetaan vasta ysillä, sillä kasilla tulee vasta normi ensimmäisenasteenyhtälö...
Teuro kirjoitti:
Ei suinkaan tarvitse, koska alemmasta yhtälöstä selviää, että x = y. Tämä voidaan sijoittaa ylempään yhtälöön, jolloin saadaan, että 2y - y = 1, josta edelleen y = 1. Aiemmasta ratkaisusta saatiin, että x = y, joten x = y = 1.
En lähtenytkään nyt soveltamaan mitään omaa ratkaisutapaa, vaan ihan matikankirjan mukaisia ohjeita...
Macro kirjoitti:
Jalmari91 kirjoitti:
Offtopic: Oletko 7:lla? Eikös nuo joskus silloin opeteltu?
En ;) Alempana, mutta ei se estä opiskelua kun ymmärtää jotakin. Nämä laskut olivat ylioppilaskirjoituksissa vuonna 2008. Melkos suuri osa jo ratkaistuna näistä. http://www.aamulehti.fi/extrakuvat/
Matikka_lyhyt.pdf Eli x = 0,333 ja y = 0,333? Kummallista, että saan aina vastaukset ennemmin tongittua kuin muotoiltua itse laskun.
Jos ollaan aivan tarkkoja niin x = 0,333... ja y = 0,333..., koska 0,333 on vain likiarvo. Mutta ainakin lukiossa pitäisi ilmoittaa muodossa 1/3.
Triton kirjoitti:
Jos yhtälöpari onkin esim. 2x - y = 1, x - y = 0, niin on silloin on kerrottuva tai jaettava ainakin toinen yhtälöistä sellaisella luvulla, että toinen tuntemattomista saadaan supistumaan pois...
Mitä tuo ollenkaan tarkoittaa? Tai siis miksei tosta esimerkistäkin voisi vaan toisesta yhtälöstä määritellä toisen tuntemattoman, kuten Grez teki,
x = y tai sitten x = (y + 1) / 2 tms.
Sitten vaan sijoittaisi sen toiseen yhtälöiseen? Mikä matikan kirja noin sanoo, ja puhutaanko siinä semmosista tuntemattomista millä on monta ratkaisua vai eli mistä?
pipo kirjoitti:
Tai siis miksei tosta esimerkistäkin voisi ...
Tietenkin voi. Tritonin kommentissa olikin kyse Deffin ehdottamasta vähennysmenetelmästä, joka tunnetaan myös hienommalla nimellä Gaussin algoritmi, englanniksi Gaussian elimination.
No niin onkin. En huomannut että se liittyi tohon deffin kirjotukseen. Onko joskus käytännöllistä tai välttämätöntä laskea allekkain vai onko toi vaan vaihtoehto? En muista nähneeni tai sitten en ole vaan tietoisesti käyttänyt tollasta.
Allekkain voi laskea vain silloin kun yhtälöt on lineaarisia. Eli esimerkiksi toisen asteen yhtälöitä et voi lähteä plussailemaan/miinustelemaan vaan pitää käyttää sijoitusmenetelmää jota ilmeisesti tuolla taidettiinkin jo käyttää.
temu92 kirjoitti:
Allekkain voi laskea vain silloin kun yhtälöt on lineaarisia. Eli esimerkiksi toisen asteen yhtälöitä et voi lähteä plussailemaan/miinustelemaan
Nyt en kyllä ymmärrä että miksi ei voisi.
Otetaan vaikka
1x - 1y = -1 ||*2 4x^2 + 2x + 2y = 1 Summataan: 4x^2 + 4x = -1 Ratkaistaan x: x = -1/2 Ratkaistaan y: y = 1/2
Mikäs siitä toisen asteen yhtälöstä niin erilaisen tekee? Jos a = b ja c = d niin sitten a + c = b + d oli a, b, c ja d mitä hyvänsä härpäkkeitä.
Jos on vaikka x^3 + 13y = 14 ja x*y + 12x^2 = 4y, niin ihan hyvin voit laskea ne yhteen x^3 + 13y + x*y + 12x^2 = 14 + 4y, ei se siitä miksikään muutu.
En tiiä. Oon käyny amkin matikat enkä ole tämmöstä allekkain laskemista ikinä käyttänyt vaan siis aina yhtälö kerrallaan ratkaissut tuntemattoman muitten suhteen. Tietääkseni. Täytyy muistaa että (ainakin oman koulutukseni mukaan) matematiikka on vain työkalu. Yksinkertainen malli on siis kai aina parempi, alkuperäiseen viestiin vastatakseni en lähtisi muuta kuin sijoittamaan toisen tuntemattoman toisen suhteen.
Macro kirjoitti:
Kysymys: Voisiko joku ystävällisesti antaa jonkin kaavan, miten tämä lasketaan?
Määritetään siis toinen tuntematon toisen suhteen ja sijoitetaan se toiseen yhtälöön. Korjaatteko jos oon väärässä, näin oon kuitenkin tähän asti aina tehnyt.
Grez kirjoitti:
1x - 1y = -1 ||*2 4x^2 + 2x + 2y = 1
En ymmärrä kirjoitustapaa tai sitten on kirjoitusvirhe. Kuten mainitsin koulutustaustani ei ole hyödytön vaan vahingollinen ;)
pipo kirjoitti:
Grez kirjoitti:
1x - 1y = -1 ||*2 4x^2 + 2x + 2y = 1En ymmärrä kirjoitustapaa tai sitten on kirjoitusvirhe. Kuten mainitsin koulutustaustani ei ole hyödytön vaan vahingollinen ;)
Tuossahan on vain kaksi yhtälöä, joista ylempi kerrotaan puolittain kahdella. Kahdella kertominen on oleellista, jotta saadaan x ratkaisua. Kun katsot seuraavaa vaihetta huomaat, että on suoritettu tuo allekkain lasku. Ja allekkain laskussahan ei kyse ole kuin siitä, että lisätään yhtälön kummallekin puolelle yhtä paljon. Tuo allekainlasku on vain tapa hieman yksinkertaistaa tätä laskemista. Grezin esimerkkiä lainaten:
1x - 1y = -1 ||*2
4x^2 + 2x + 2y = 1
Saadaan:
2x - 2y = -2
4x^2 + 2x + 2y = 1
Lisätään puolittain. Toiselle puolelle 2x - 2y ja toiselle -2
Ylempi ja alempi yhtälö tavallaan lasketaan allekain yhteen.
4x^2 + 2x + 2y + 2x - 2y = 1 - 2
Saadaan siis:
4x^2 + 4x = -1Eihän sillä loppujen lopuksi ole väliä miten päin noita laskee tai ratkoo, kunhan vain laskee ja ratkoo oikein. Matriisithan noissa ovat kätevia apuna, varsinkin sitten kun yhtälöiden ja tuntemattomien määrät kasvavat.
Jalmari91 kirjoitti:
Jos ollaan aivan tarkkoja niin x = 0,333... ja y = 0,333..., koska 0,333 on vain likiarvo. Mutta ainakin lukiossa pitäisi ilmoittaa muodossa 1/3.
Jeps, en ehtinyt muokata viestiä kun huomasin virheeni. No, kuitenkin sain laskun valmiiksi. Ei siinä ollut muuta häikkää, kuin että tehtävänannossa oli ; merkin sijasta , joka sekoitti vähän ajatuksiani.
Yhteenlasku on tarpeen esimerkiksi silloin, kun minkään yhtälön ratkaisu sellaisenaan ei onnistu tai on vaivalloista. Hyöty on suurimmillaan korkeamman asteen yhtälöiden kanssa, ja kyllä, niitäkin voi aivan hyvin laskea yhteen.
Yhteenlaskun perusta on siinä reaalilukujen aksioomista johdettavassa tosiasiassa, että jos a = b ja c = d, niin a + c = b + d. Jos siis tiedetään, että x^2 + 7 = y^3 + 8, voidaan lisätä yhdelle puolelle yhtälöä x^2 + 7 ja toiselle puolelle y^3 + 8. Tai yksinkertaisemmin: jos tiedetään, että 1 = 1, voidaan lisätä molemmille puolille yhtälöä 1. Tähän perustuu myös termien siirtäminen puolelta toiselle: vähennetään termi toiselta puolelta ja lisätään se toiselle.
Tässä on esimerkki, jossa toisen tuntemattoman ratkaiseminen ja hankalan neliöjuurilausekkeen raahaaminen mukana olisi minusta turhan vaivalloista:
A: x^2 - 4x + y^2 + 2y = -4 B: x^2 + 6x + y^2 + 4y = 12 (A:sta saadaan y = -1 ± sqrt(x^2 - 4x + 3), mutta ei käytetä sitä nyt.) B - A: 10x + 2y = 16 <=> y = 8 - 5x Sijoitetaan A:han: x^2 - 4x + (8 - 5x)^2 + 2(8 - 5x) = -4 x^2 - 4x + 25x^2 - 80x + 64 + 16 - 10x = -4 26x^2 - 104x + 104 + 10x - 20 = 0 26(x^2 - 4x + 4) + 10(x - 2) = 0 26(x - 2)^2 + 10(x - 2) = 0 Jaetaan (x-2):lla; (x-2) ei saa olla nolla, 26(x - 2) + 10 = 0 x = 21 / 13 y = 8 - 5x = 8 - 105/13 = -1 / 13 Jos (x-2) olikin nolla, niin x - 2 = 0 <=> x = 2 y = 8 - 5x = -2 Tarkistetaan, että saadut ratkaisut toteuttavat alkuperäiset yhtälöt. Ja kyllä, näinhän se on. Ratkaisut ovat siis (2, -2) ja (21/13, -1/13)
Tässä kyseisessä tapauksessa on toinenkin, geometriaan nojautuva tapa. Molemmat yhtälöt voi muuttaa toiseen muotoon:
A: (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1^2 B: (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2
Tästä muodosta nähdään, että A kuvaa ympyrää, jonka säde on 1 ja keskipiste (2, -1), ja B kuvaa ympyrää, jonka säde on 5 ja keskipiste (-3, -2). Ratkaisu (2, -2) on helppo keksiä esimerkiksi piirtämällä kuva (tai suoraan yhtälöistäkin). Toinen ratkaisu ratkeaa kolmioiden avulla, kun peilataan tämä ensimmäinen ratkaisu ympyröiden keskipisteitä yhdistävän janan yli.
Niin, itse lähtisin siitä, että kannattaa valita se ratkaisumenetelmä, joka vaikuttaa helpoimmalta. Esimerkiksi alkuperäisessä tehtävässä näki suoraan, että x=y joten kannattaa käyttää sijoittamista. Jossain toisessa tehtävässä sitten voi olla järkevämpää eliminoida, jne.
Grez kirjoitti:
Niin, itse lähtisin siitä, että kannattaa valita se ratkaisumenetelmä, joka vaikuttaa helpoimmalta. Esimerkiksi alkuperäisessä tehtävässä näki suoraan, että x=y joten kannattaa käyttää sijoittamista. Jossain toisessa tehtävässä sitten voi olla järkevämpää eliminoida, jne.
Niin näki, mutta en tajunnut tätä koska tehtävässä oli virhe kun sain sen. Jos merkitään esim. 1,x niin olettaisin että tämä on desimaali. Ymmärsin tehtävän, kun moderaattori kävi korjaamassa pilkun ; merkiksi.
No tuo mun kommentti olikin lähinnä Metabolixille ja muille jotka täällä yleisesti keskustelee asiasta.
Toisaalta ei siinä alkuperäisessäkään tehtävänannossa, jossa oli pilkku mun mielestä ollut hirveästi ongelmia, koska sellaista merkintätapaa kuin 1,x ei ole olemassa (siis että , olisi desimaalierotin). En edes huomannut että se oli muutettu ennen kuin asiasta mainitsit.
Kyllä siinä minusta näyttäisi olevan pilkun jälkeen väli, ja tehtävänantokin kertoo, että tässä on kaksi yhtälöä. Sitä paitsi desimaalia tarkoittava merkintä olisi niin poikkeuksellinen, että tehtävässä varmasti lukisi "missä x on numero ja 1,x muodostaa desimaaliluvun".
Toiseen asiaan liittyen kysyn (tosin matikkaa silti), että jos on 970 metriä korkea mäki ja se laskee 13 asteen kulmassa, niin miten kasken mäen pituuden? (Juurihan tälläinenkin oli minulla koulussa, mutta en muista...)
Öh, en sit tiedä kummin päin toi 13° katsotaan, varmaan vaakatasoon. Jos se olis suhteessa pystytasoon niin olis aika jyrkkä mäki.
Oisko
970m / sin(13°) = n. 4300 m
Piirrä kuva ja merkitse tähän tuntemasi arvot.
Sinun pitäisi saada aikaiseksi suorakulmainen kolmio, josta tiedät yhden sivun pituuden (= mäen korkeus) ja kahden kulman suuruuden (kulma missä mäki laskee ja suora kulma). Näistä tiedoista mäen pituuden (= hypotenuusa) laskeminen pitäisi olla kohtuullisen yksinkertaista.
Tässä on asiaan liittyvää tietoa:
https://www.ohjelmointiputka.net/oppaat/opas.
Trigonometrialla. Voisit muutenkin vilkaista Ohjelmointiputkan oppaita, jotka kertovat mm. ohjelmoijan matematiikasta ja algoritmien perusteista. Matematiikkaoppaasta oppii hyödyllisiä niksejä niin matematiikkaa kuin ohjelmointiakin varten, ja algoritmiopas taas kertoo hieman algoritmien ohjelmoinnista, joka vaatii samantapaisia päättelytaitoja kuin matematiikka. (Algoritmiopassarja taitaa olla kylläkin pahasti kesken.)
Yläasteella ja lukiossa voit osallistua MAOLin kilpailuihin. Peruskoululaisille järjestetään matematiikkakilpailu, ja ohjelmointia käsittelevä Datatähti-kilpailu on peruskoulun ja lukion yhteinen. Itse olin matematiikkakilpailussa mukana 7. luokalta asti joka vuosi, Datatähdessä 9. luokalta (kun ei kukaan aiemmin kertonut sellaisesta) ja lukion aikana lisäksi fysiikka- ja kemiakilpailuissa, ja kokemukset olivat ennen muuta myönteisiä. Kannattaa ehdottomasti käydä kokeilemassa heti, kun tilaisuus tarjoutuu: mitään menetettävää ei ole, ja parhaimmillaan voi oppia uutta ja päästä jatkokilpailuihin.
Metabolix kirjoitti:
Datatähdessä 9. luokalta (kun ei kukaan aiemmin kertonut sellaisesta)
Onko tämä kovinkin uusi tai kovinkin vanha kilpailu kun itse en ole kuullut siitä muuten kuin tällä sivustolla. 1991 vuodesta saakka on voittajat mainittu wikipediassa. Varmasti opettava kokemus vaikkei ohjelmointi ja tiatskarit kiinnostaisi. Siis ongelmien ratkaisun kannalta yleensäkin. Toi teuron ratkaisumalli on ihan kurko.
pipo kirjoitti:
Onko tämä kovinkin uusi tai kovinkin vanha kilpailu kun itse en ole kuullut siitä muuten kuin tällä sivustolla.
Vastasit itse kysymykseesi: on se ainakin vuodesta 1991 asti pidetty. Ohjelmointitaitoisia on nykyään niin vähän, että juuri missään koulussa ei erityisesti mainosteta Datatähteä. Joka yläasteelle ja lukiolle toimitetaan kuulemma mainosjulisteet MAOLin kilpailuista, ja muut kisat näkyivätkin yläasteen seinällä paitsi tuo yksi. (Olisikohan sitten ollut lukion puolella esillä...)
Datatähteen on kyllä vähän paha osallistua, jos ohjelmointi ei alkuunkaan kiinnosta, nimittäin suurin osa pisteistä tulee siitä ohjelmoinnista.
Onko tuo Datatähti -kilpailu vain tälläiselle ohjelmoinnille, kuten C++ vai onko tässä myös nettisivupuolen (PHP, MySQL, JavaScript) tehtäviä?
Tuossa on tämän vuoden kilpailutehtävät: http://www.cs.uta.fi/datatahti/2009_ohjelmointi.
Noihan nyt olisi aika sama tehdä PHP:llä tai Javascriptillä jos se vaan olisi sallittujen kielten listalla. Mutta siis kuitenkin jos nuo osaa ratkaista esim. PHP:llä niin luultavasti ne osaa ratkaista C:lläkin. Toki jos ei osaa sujuvasti oppia uuden kielen nyansseja niin ei välttämättä kiinnostus riitä alkaa opiskelemaan yhtä kilpailua varten.
MySQL ei liity mitenkään erityisesti nettisivuihin.
Omasta mielestäni tuo datatähden kielivalikoima on huono. Karrikoiden sanottuna C ja C++ on kielinä hankalia ja Pascalia ei kukaan nykyään käytä.
Marco: Sallitut kielet ovat C, C++ ja Pascal. Tehtävät ovat algoritmisia eli tavallaan matemaattisia. Tehtävänä ei ole niinkään koodata ohjelmaa vaan kehittää ratkaisu annettuun ongelmaan. Ongelmia ovat esimerkiksi "mikä on lyhin reitti A:sta B:hen annettuja teitä pitkin" ja "miten monta lyöntiä tarvitaan, että golf-pallo saadaan reikään annetulla radalla".
Grez kirjoitti:
Tuossa on tämän vuoden kilpailutehtävät: ...
Datatähti 2009 -alkukilpailu pidettiin viime syksynä ja loppukilpailu tämän vuoden tammikuussa. Niinpä nuo ovat ajallisesti viime vuoden tehtäviä. Datatähti 2010 -alkukilpailu pidetään parin kuukauden kuluttua, 27.10.–10.11.2009.
Grez kirjoitti:
Karrikoiden sanottuna C ja C++ on kielinä hankalia ...
Javaa kokeiltiin, ratkaisuja tuli vain pari ja ne olivat kuulemma paitsi nopeutensa myös koodinsa puolesta kilpailun häntäpäässä. En usko, että kieli välttämättä olisi tuossa suurin ongelma; tehtävätkään eivät ole aivan triviaaleja kuten PHP-haasteessa. Kielipäätöksen perusteena ovat kansainväliset kilpailut, joissa on sama valikoima. Tosin jos itse järjestäisin tuota MAOLin kilpailua, sallisin vastaavan laajan kielivalikoiman kuin täällä järjestämissäni kilpailuissa; kärkijoukko kykenisi varmasti opettelemaan tarpeeksi C++:aa voitettuaan ensin muut omalla kielellään.
Itse palautin joka vuosi ainakin toisen ratkaisuista Pascalilla (en siksi, että se olisi ollut kätevää, vaan ihan ilkeyttäni). Täytyy myöntää, että Pascal on niukan standardikirjastonsa vuoksi aika heikoilla. Sama vika on myös C:ssä, kun vertaa C++:aan, josta löytyy koko joukko valmiita tietorakenteita ja perusalgoritmeja.
Metabolix kirjoitti:
Niinpä nuo ovat ajallisesti viime vuoden tehtäviä.
No, ehkä olisi pitänyt sanoa että viimeisimmät tehtävät. Nimen puolesta se on silti tämän vuoden datatähtikilpailu.
Metabolix kirjoitti:
Javaa kokeiltiin, ratkaisuja tuli vain pari ja ne olivat kuulemma paitsi nopeutensa myös koodinsa puolesta kilpailun häntäpäässä.
Niin tuo kommenttini nyt liittyi lähinnä siihen, että osallistujista on pulaa. Jos siellä sallittaisiin vaikka PHP, Javascript, Basic ja Java niin potentiialisia osallistujia olisi enemmän. Toisaalta uskon itsekin että taso ainoastaan laskisi. Potentiaaliset voittajat kyllä oppii uuden kielen tarvittaessa ja luultavasti osaakin jo valmiiksi jotain noista.
Mulla on tässä ollut vähän tuo C++ opettelu työn alla, mutta katsotaan nyt ;)
Aihe on jo aika vanha, joten et voi enää vastata siihen.