Oppaat: Ohjelmoijan matematiikka: Osa 1 - Jakojäännös

Tässä Ohjelmointiputkan uudessa opassarjassa käsitellään matematiikan aiheita, jotka ohjelmoijan on tärkeä tuntea. Monet oppaiden asiat opetetaan jossain vaiheessa peruskoulussa tai lukiossa, mutta sovelluksia käytännön ohjelmointiin ei ole aina helppo havaita. Oppaat on kirjoitettu enemmän kansantajuisesti kuin matemaattisen tarkasti: kuvia ja esimerkkejä on paljon, todistuksia taas niukasti. Ensimmäisen oppaan aiheena on monikäyttöinen jakojäännös.

Jakolaskun tulos

Kokonaislukujen jakolaskun tuloksen voi ilmoittaa kahdella tavalla:

7 / 4 = 1,75
7 / 4 = 1 jää 3

Alemmalla rivillä oleva 3 on jakojäännös. Tämä on jakolaskussa yli jäävä osa. Kun jako menee tasan, jakojäännös on 0. Muussa tapauksessa jakojäännös on kokonaisluku, joka on jakajaa pienempi. Luvulla 4 jaettaessa jakojäännös voi siis olla 0, 1, 2 tai 3.

Esimerkki: Korissa oli 37 omenaa, jotka jaettiin viiden hengen kesken. Kuinka monta omenaa kukin sai ja kuinka monta omenaa jäi yli?

Vastaus: 37 / 5 = 7 jää 2. Jokainen sai seitsemän omenaa ja kaksi omenaa jäi yli.

Käytännössä omenat jaetaan niin, että kullekin syöjälle annetaan vuorollaan yksi omena, kunnes omenoita ei enää riitä koko kierrokseen. Jakolaskun tulos koostuu siis kahdesta osasta: kuinka monta kertaa jakaja mahtuu jaettavaan (osamäärä) ja kuinka paljon jää silloin yli (jakojäännös).

Esimerkki: Toisena päivänä jokainen sai viisi omenaa ja yksi jäi yli. Kuinka monta omenaa korissa oli, kun syöjiä oli taas viisi?

Vastaus: 5 * 5 + 1 = 26. Korissa oli 26 omenaa.

Jakojäännöksellä on suora yhteys luvun desimaaliosaan:

7 / 4 = 1 jää 3 = 1 + ³/₄ = 1 + 0,75 = 1,75

Tuloksen desimaaliosa voidaan siis ilmoittaa murtolukuna, jossa osoittajana on jakojäännös ja nimittäjänä jakaja.

Merkinnät

Tästä lähtien oppaassa käytetään seuraavia merkintöjä:

a / b = jakolaskun kokonaisosa
a mod b = jakolaskun jakojäännös

Siis esimerkiksi 7 / 3 = 2 ja 7 mod 3 = 1. Sana mod tulee siitä, että jakojäännöksen toinen nimi on modulo.

Ohjelmointikielissä jakojäännös merkitään tavallisimmin mod tai %.

Jaollisuus

Jos a mod 2 = 0, luku a on parillinen. Jos a mod b = 0, luku a on jaollinen luvulla b. Tällöin luku b on luvun a tekijä.

Esimerkki: Onko 6 luvun 220 tekijä?

Vastaus: 220 mod 6 = 4. Ei ole.

Esimerkki: Onko 7 luvun 175 tekijä?

Vastaus: 175 mod 7 = 0. 175 / 7 = 25. On, 7 * 25 = 175.

Toistuva kierros

Kellotaulussa on 12 numeroa:

Kun viisari siirtyy numeron 12 kohdalle, kierros alkaa jälleen alusta. Viisarin aloituskohdan ja sen kulkeman matkan perusteella voidaan laskea viisarin uusi kohta jakojäännöksen avulla.

Esimerkki: Viisari on kello viiden kohdalla. Missä viisari on kymmenen tunnin kuluttua?

Vastaus: (5 + 10) mod 12 = 3. Kello kolmen kohdalla.

Sovelluksia:

Esimerkki: Kello on 16:00. Kuinka paljon kello on 52 tunnin kuluttua?

Vastaus: (16 + 52) mod 24 = 20. Kello on 20:00.

Esimerkki: Tänään on maanantai. Mikä viikonpäivä on 1000 päivän kuluttua?

Vastaus: 1000 mod 7 = 6. Siis sama viikonpäivä on 6 päivän kuluttua eli sunnuntai.

Esimerkki: Pekka jakoi kortteja neljään pinoon. Mihin pinoon meni 39. kortti?

Vastaus: 39 mod 4 = 3. Samaan pinoon kuin kolmas kortti eli kolmanteen pinoon.

Tällä tavalla voidaan ohjelmoinnissa tunnistaa joka toinen, joka kolmas jne. läpi käytävistä tiedoista. Laskurimuuttujan jakojäännös kertoo, missä kohtaa kierrosta mennään. Tietyllä jakojäännöksen arvolla voidaan tulostaa erivärinen teksti, rivinvaihto tai muuta vastaavaa.

Esimerkkejä:
C: Lukujen tulostus rivitettynä
PHP: Rivien väritys kolmella värillä

Ruudukon numerointi

Tarkastellaan ruudukkoa, jossa on viisi pystyriviä ja viisi vaakariviä:

Jokainen ruutu on numeroitu vasemmalta oikealle ja ylhäältä alas. Lisäksi ruutuihin voi viitata ison ja pienen kirjaimen yhdistelmällä. Esimerkiksi ruudun Db numero on 16. Nyt tehtävänä on laskea ruudun numero kirjainparista ja päinvastoin. Kirjaimia voi laskuissa käsitellä numeroina niin, että A = 0, B = 1, C = 2, D = 3 ja E = 4 (pienet kirjaimet samoin).

Numero kirjaimista:

numero = rivi * 5 + sarake

Esimerkki: Mikä on ruudun Db numero?

Vastaus: Rivi = D = 3. Sarake = b = 1. Siis numero = 3 * 5 + 1 = 16.

Kirjaimet numerosta:

rivi = numero / 5
sarake = numero mod 5

Esimerkki: Mitkä ovat ruudun 16 kirjaimet?

Vastaus: Rivi = 16 / 5 = 3 = D. Sarake = 16 mod 5 = 1 = b. Siis Db.

Näitä kaavoja voi käyttää kaikenkokoisissa ruudukoissa. Luku 5 täytyy vain korvata ruudukon leveydellä.

Ohjelmoinnissa numero vastaa yksiulotteisen taulukon numerointia ja kirjainpari kaksiulotteisen taulukon numerointia.

Ajan jako osiin

Kuinka monta sekuntia on 2 päivää, 5 tuntia ja 10 minuuttia? Kuinka paljon on 191400 sekuntia?

Näihin kysymyksiin vastaamiseksi pitää tutkia, miten ajan yksiköt muodostuvat:

1 minuutti = 60 sekuntia
1 tunti = 60 minuuttia
1 päivä = 24 tuntia
1 viikko = 7 päivää

Näistä tiedoista on helppo laskea muitakin suhteita:

1 päivä = 24 * 60 * 60 = 86400 sekuntia
1 viikko = 7 * 24 = 168 tuntia

Ajan ilmoitus samassa yksikössä:

Lasketaan jokaisen yksikön suuruus halutussa yksikössä ja kerrotaan ajan osat.

Esimerkki: Kuinka monta sekuntia on 2 päivää, 5 tuntia ja 10 minuuttia?

Vastaus: 1 päivä = 86400 sekuntia. 1 tunti = 60 * 60 = 3600 sekuntia. 1 minuutti = 60 sekuntia. Siis: 2 * 86400 + 5 * 3600 + 10 * 60 = 191400 sekuntia.

Ajan ilmoitus eri yksiköissä:

Lasketaan jokaisen yksikön suuruus aloitusyksikössä. Jaetaan luku suurimmalla yksiköllä. Kokonaisosa on tämän yksikön määrä. Jakojäännös on uusi tarkasteltava luku. Tämä luku jaetaan toisiksi suurimmalla yksiköllä. Näin jatketaan, kunnes jakojäännös on 0.

Esimerkki: Kuinka paljon on 191400 sekuntia?

Vastaus: 1 päivä = 86400 sekuntia. 1 tunti = 3600 sekuntia. 1 minuutti = 60 sekuntia. 191400 / 86400 = 2 jää 18600. 18600 / 3600 = 5 jää 600. 600 / 60 = 10 jää 0. Siis 2 päivää, 5 tuntia ja 10 minuuttia.

Kuukausia ja vuosia ei voi laskea yhtä helposti ja yksiselitteisesti, koska niissä päivien määrä vaihtelee.

Esimerkki: Englannin vanha punta oli 20 shillinkiä, joka taas oli 12 pennyä. Kuinka paljon oli 1971 pennyä?

Vastaus: 1 punta = 20 * 12 = 240 pennyä. 1 shillinki = 12 pennyä. 1971 / 240 = 8 jää 51. 51 / 12 = 4 jää 3. Siis 8 puntaa, 4 shillinkiä ja 3 pennyä.

Luvun alkutekijät

Alkuluku on luku, joka on jaollinen vain luvulla 1 ja itsellään.

Ensimmäiset alkuluvut ovat:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37

On sovittu, että luku 1 ei ole alkuluku. Jokainen tätä suurempi kokonaisluku on joko alkuluku tai useamman alkuluvun tulo.

Kun luvusta ilmoitetaan sen muodostavat alkuluvut, puhutaan luvun alkutekijöistä. Luvun alkutekijät voi löytää jakamalla lukua pienempiin osiin.

250
= 10 * 25
= 2 * 5 * 5 * 5

Luvun alkutekijät ovat aina samat riippumatta luvun jakamisen vaiheista.

Nopeaa tapaa suurten lukujen alkutekijöiden etsimiseen ei tunneta.

Suurin yhteinen tekijä

Kahden luvun suurin yhteinen tekijä on suurin luku, jolla molemmat luvut ovat jaollisia. Esimerkiksi syt(40, 28) = 4.

Suurin yhteinen tekijä voidaan selvittää jakamalla luvut alkutekijöihin:

40 = 2 * 2 * 2 * 5
28 = 2 * 2 * 7

Yhteiset alkutekijät ovat 2 ja 2, joten syt(28, 20) = 2 * 2 = 4.

Näppärämpi tapa on käyttää Eukleideen algoritmia:

40 / 28 = 1 jää 12
28 / 12 = 2 jää 4
12 / 4 = 3 jää 0

Seuraavan laskun jaettava on edellisen jakaja, ja seuraavan laskun jakaja on edellisen jakojäännös. Kun jakojäännös on lopuksi 0, vastaus on sen laskun jakaja.

Esimerkki: Mikä on lukujen 1080 ja 1008 suurin yhteinen tekijä?

Vastaus: Käytetään Eukleideen algoritmia. 1080 / 1008 = 1 jää 72. 1008 / 72 = 14 jää 0. Siis syt(1080, 1008) = 72.

Pienin yhteinen moninkerta

Kahden luvun pienin yhteinen moninkerta on pienin luku, joka on jaollinen kummallakin luvulla. Esimerkiksi pym(40, 28) = 280.

Myös pienin yhteinen moninkerta selviää lukujen alkutekijöistä:

40 = 2 * 2 * 2 * 5
28 = 2 * 2 * 7

Kustakin alkutekijästä valitaan suurin moninkerta, joka esiintyy jommassakummassa luvussa. Siis pym(40, 28) = 2 * 2 * 2 * 5 * 7 = 280.

Pienin yhteinen moninkerta voidaan laskea myös suoraan, jos tiedossa on suurin yhteinen tekijä:

pym(a, b) = (a * b) / syt(a, b)

Siis pym(40, 28) = (40 * 28) / syt(40, 28) = 1120 / 4 = 280

Esimerkki: Mikä on lukujen 1080 ja 1008 pienin yhteinen moninkerta?

Vastaus: Kun syt(1080, 1008) = 72, niin pym(1080, 1008) = (1080 * 1008) / 72 = 15120.

Esimerkkejä:
C: syt ja pym
QBasic: syt ja pym

Toistuvat tilanteet

Pienessä kylässä järjestetään tapahtumia seuraavasti:

• joka kolmas vuosi suuri peltoralli
• joka neljäs vuosi traktorinäyttely
• joka kuudes vuosi konserttiviikko

Vuonna 2000 kaikki tapahtumat olivat samana vuonna. Koska näin tapahtuu seuraavan kerran?

Tämän tehtävän ratkaisu on kaikkien väliaikojen pienin yhteinen moninkerta:

pym(3, 4) = 12
pym(12, 6) = 12

Siis vuonna 2012 kaikki tapahtumat ovat jälleen samana vuonna.

Pienin yhteinen moninkerta lasketaan aina kahdelle luvulle, mutta kun lukuja on useampia, lasketaan ensin kahden ensimmäisen luvun pienin yhteinen moninkerta, sitten tämän tuloksen ja seuraavan luvun pienin yhteinen moninkerta jne.

Sama tehtävä eri sanoin: Hammasratas A:ssa on kolme hammasta, B:ssä neljä hammasta ja C:ssä kuusi hammasta. Jokainen hammasratas pyörii yhden askeleen sekunnissa. Milloin hammasrattaat ovat samassa tilanteessa kuin alussa?

Näin voidaan yleisemmin ratkaista tehtäviä, joissa on toisistaan riippumattomia eripituisia kiertoja, joiden täytyy päättyä yhtä aikaa. Esim. Putkaposti 8.

Loppusanat

Voit lähettää palautetta ja kysymyksiä tästä oppaasta sähköpostilla osoitteeseen antti.laaksonen@ohjelmointiputka.net.

Kerro myös, mistä matematiikan alueesta haluaisit lukea tulevissa oppaissa!

Antti Laaksonen, 26.8.2006