Oppaat: Ohjelmoijan matematiikka: Osa 2 - Pituus ja kulma

Tässä oppaassa tutkitaan erilaisia kolmioita, niiden sivujen pituuksia ja kulmien suuruuksia. Oppaan tärkeimmät asiat ovat Pythagoraan lause ja trigonometriset funktiot sini, kosini ja tangentti. Lisäksi oppaassa kerrotaan, kuinka trigonometriset funktiot liittyvät ympyrään ja miten ohjelmoija voi soveltaa niitä erilaisissa graafisissa ohjelmissa.

Pythagoraan lause

Suorakulmaisen kolmion muodostavat kaksi kateettia, joiden välillä on suora kulma, sekä hypotenuusa. Seuraavassa kuvassa sivut a ja b ovat kateetteja ja sivu c on hypotenuusa.

Pythagoraan lause liittää suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet toisiinsa: kun kateettien pituudet korotetaan toiseen potenssiin ja lasketaan yhteen, saadaan tulokseksi hypotenuusan pituus korotettuna toiseen potenssiin. Matemaattisesti lause merkitään a² + b² = c².

Kun suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksista tunnetaan kaksi, voidaan Pythagoraan lauseen avulla laskea myös kolmannen pituus.

Esimerkki: Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 3 ja 4. Mikä on hypotenuusan pituus?

Vastaus: a = 3 ja b = 4. 3² + 4² = c². c² = 9 + 16 = 25. c = √25 = 5. Siis hypotenuusan pituus on 5.

Esimerkki: Suorakulmaisen kolmion toisen kateetin pituus on 12 ja hypotenuusan pituus on 13. Mikä on toisen kateetin pituus?

Vastaus: a = 12 ja c = 13. 12² + b² = 13². b² = 169 - 144 = 25. b = √25 = 5. Siis toisen kateetin pituus on 5.

Kahden pisteen etäisyys

Pythagoraan lauseen sovellus on kahden ruudukossa olevan pisteen etäisyyden laskeminen. Ruudukon pisteet voidaan kuvitella suorakulmaisen kolmion kärkipisteiksi, jolloin tämän kolmion hypotenuusan pituus on yhtä suuri kuin pisteiden etäisyys. Kun pisteiden koordinaatit tunnetaan, kateettien pituuksien laskeminen on helppoa.

Pisteiden etäisyys vaakasuunnassa on 4 - 2 = 2, ja pisteiden etäisyys pystysuunnassa on 6 - 1 = 5. Nämä vastaavat suorakulmaisen kolmion kateettien pituuksia, joten 2² + 5² = c². Edelleen c² = 4 + 25 = 29 ja c = √29 ≈ 5,39, joka on pisteiden etäisyys.

Kun kahden pisteen koordinaatit ovat (x₁, y₁) ja (x₂, y₂), niiden etäisyys on yleisesti √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)².

Esimerkki: Kahden pisteen koordinaatit ovat (-2, 7) ja (6, 6). Kuinka kaukana pisteet ovat toisistaan?

Vastaus: √(6 + 2)² + (6 - 7)² = √64 + 1 = √65 ≈ 8,06.

Kulman ilmoitus

Tavalliset kulman yksiköt ovat aste ja radiaani. 180 astetta on π radiaania. (π ≈ 3,14159.)

Seuraavia kaavoja voi käyttää kulmien muutoksiin:

aste = (radiaani * 180) / π
radiaani = (aste / 180) * π

Esimerkki: Kuinka monta radiaania on 45 astetta?

Vastaus: (45 / 180) * π = (1 / 4) * π. Siis noin 0,79 radiaania.

Esimerkki: Kuinka monta astetta on 1 radiaani?

Vastaus: (1 * 180) / π = 180 / π. Siis noin 57 astetta.

Kolmion kulmat

Suorakulmaisen kolmion yksi kulma on tietysti 90 astetta. Mutta kuinka suuri on kuvassa kulma α?

Trigonometriset funktiot sini, kosini ja tangentti liittyvät suorakulmaiseen kolmioon näin:

sin(α) = b / c
cos(α) = a / c
tan(α) = b / a

Sini on kulman vastaisen kateetin ja hypotenuusan suhde. Kosini on kulman viereisen kateetin ja hypotenuusan suhde. Tangentti on kulman vastaisen kateetin ja viereisen kateetin suhde. Näiden funktioiden avulla voidaan laskea mikä tahansa suorakulmaisen kolmion kulma, kun kahden sivun pituus tunnetaan.

Kun tiedetään kulman sini, kosini tai tangentti, varsinainen kulma voidaan laskea käänteisfunktioilla arkussini, arkuskosini ja arkustangentti. Esimerkiksi kun sin(α) = 0,62, α on arcsin(0,62) ≈ 38°. Trigonometristen funktioiden laskuun ei ole yksinkertaista tapaa, vaan avuksi tarvitaan laskinta tai tietokonetta.

Esimerkki: Kuinka suuri kuvan kulma α on, kun a = 3 ja c = 5?

Vastaus: cos(α) = 3 / 5. Siis α = arccos(3 / 5) ≈ 53°.

Esimerkki: Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 4 ja 7. Laske kolmion kulmien suuruudet.

Vastaus: Yksi kulma on 90°. Kun toinen kulma on α, tan(α) = 4 / 7. Siis α = arctan(4 / 7) ≈ 30°. Kolmion kulmien summa on 180°, joten kolmas kulma on 60°.

Muistikolmiot

Tässä on kaksi yleistä suorakulmaista kolmiota:

Näiden muistikolmioiden avulla voi ratkaista nopeasti monta laskua. Jos kolmion kulmat ovat samat kuin muistikolmiossa, myös sen sivujen pituudet ovat samassa suhteessa.

Esimerkki: Kolmion kulmat ovat 30°, 60° ja 90°. Hypotenuusan pituus on 6. Laske kateettien pituudet.

Vastaus: Kolmion sivujen pituudet ovat kuvaan verrattuna kolminkertaisia. Siis kateettien pituudet ovat 3 ja 3√3.

Näiden kolmioiden avulla voidaan määrittää joitakin trigonometristen funktioiden arvoja tarkasti:

Esimerkki: Kuinka suuri on kulma α, kun tan(α) = √3?

Vastaus: Taulukko kertoo: 60°.

Sinilause ja kosinilause

Tähän mennessä esitetyt tavat kolmion sivujen pituuksien ja kulmien laskentaan soveltuvat vain suorakulmaisiin kolmioihin. Nyt tulee kaksi yleisempää lausetta, joita voi käyttää kaikenlaisten kolmioiden kanssa.

Sinilauseen mukaan kolmion jokaisen sivun ja sille vastakkaisen kulman sinin suhde on sama.

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

Kosinilause on laajennettu Pythagoraan lause, joka pätee kaikilla kolmioilla.

a² = b² + c² - 2 * b * c * cos(α)

Sivujen ja kulmien nimet täytyy valita yllä olevan kuvan mukaisesti, jotta lauseet pätevät.

Esimerkki: Kuvan kolmiossa a = 10, b = 8 ja c = 7. Laske kolmion kulmien suuruudet.

Vastaus: Kosinilauseen mukaan 10² = 8² + 7² - 2 * 8 * 7 * cos(α). Siis -2 * 8 * 7 * cos(α) = 10² - 8² - 7². -112 * cos(α) = 100 - 64 - 49. cos(α) = 13 / 112. Näin α on 83°. Sinilauseen mukaan 10 / sin(α) = 8 / sin(β). Siis sin(β) = sin(α) * 8 / 10, jolloin β on 53°. Kolmion kulmien summa on 180°, joten γ = 180° - 83° - 53° = 44°.

Kolmion pinta-ala

Kolmion pinta-ala on (kanta * korkeus) / 2, joten suorakulmaisen kolmion pinta-ala on (a * b) / 2, kun a ja b ovat kateettien pituudet.

Kolmion pinta-ala on myös (a * b * sin(γ)) / 2, jossa a ja b ovat kolmion kaksi sivua ja γ on niiden välissä oleva kulma.

Kolmas tapa kolmion pinta-alan laskuun on Heronin kaava. Kolmion pinta-ala on √n * (n - a) * (n - b) * (n - c), kun a, b ja c ovat kolmion sivujen pituudet ja n on puolet sivujen pituuksien summasta.

Esimerkki: Laske edellisen esimerkin kolmion pinta-ala.

Vastaus: a = 10, b = 8 ja γ = 44°. Siis pinta-ala on (10 * 8 * sin(44°)) / 2 ≈ 28.

Vastaus: n = (10 + 8 + 7) / 2 = 12,5. a = 10, b = 8 ja c = 7. Siis pinta-ala on √12,5 * (12,5 - 10) * (12,5 - 8) * (12,5 - 7) ≈ 28.

Yksikköympyrä

Yksikköympyrä on ympyrä, jonka säde on 1. Etäisyys ympyrän keskipisteestä sen kehälle on siis 1.

Kun liikutaan ympyrän keskipisteestä kehälle suuntaan α, kulman kosini ilmoittaa, kuinka paljon liikutaan vaakasuunnassa, ja kulman sini ilmoittaa, kuinka paljon liikutaan pystysuunnassa. Sopimuksen mukaan kulma ilmoittaa suunnan niin, että 0° osoittaa oikealle ja kulman suuruus kasvaa vastapäivään. Vastaavasti 90° osoittaa ylös, 180° osoittaa vasemmalle ja 270° osoittaa alas.

Kaikki ympyrän kehän pisteet voidaan laskea seuraavien kaavojen avulla:

x = cos(α)
y = sin(α)

Esimerkki: Laske ympyrän kehäpisteen sijainti, kun kulma on 20°.

Vastaus: x = cos(20°) ≈ 0,94. y = sin(20°) ≈ 0,34. Kehälle päästään siis liikkumalla 0,94 oikealle ja 0,34 ylös.

Esimerkki: Laske ympyrän kehäpisteen sijainti, kun kulma on 140°.

Vastaus: x = cos(140°) ≈ -0,77. y = sin(140°) ≈ 0,64. Kehälle päästään siis liikkumalla 0,77 vasemmalle ja 0,64 ylös.

Kosini ja sini palauttavat aina arvon väliltä -1..1. Kun kulma on 0°, kosini on 1 ja sini on 0. Kun kulma on 90°, kosini on 0 ja sini on 1. Kun kulma on 180°, kosini on -1 ja sini on 0. Kun kulma on 270°, kosini on 0 ja sini on -1. Kun kulma on 360°, kosini on 1 ja sini on 0.

Samat kosinit ja sinit kertautuvat 360 asteen välein. Esimerkiksi sin(1000°) on sama kuin sin(280°), koska 280° + 360° + 360° = 1000°. Myös sin(-80°) on sama kuin sin(280°), koska -80° + 360° = 280°. Koko ympyrän kierrokset eivät siis vaikuta sinin ja kosinin arvoon.

Kahdella eri kulmalla voi myös olla sama kosini tai sini. Kuvasta huomataan, että cos(α) = cos(-α) ja sin(α) = sin(180° - α). Lisäksi Pythagoraan lauseen perusteella cos(α)² + sin(α)² = 1.

Avaruusaluksen liike

Avaruusalus on ruudukon kohdassa (3, 4) ja se liikkuu suuntaan 115°. Sekunnissa avaruusalus liikkuu yhden ruudunmitan eteenpäin. Missä kohdassa avaruusalus on sekunnin ja viiden sekunnin kuluttua?

Sekunnin kuluttua avaruusalus on kohdassa (3 + cos(115°), 4 + sin(115°)) eli (2,58; 4,91). Viiden sekunnin kuluttua avaruusalus on kohdassa (3 + cos(115°) * 5, 4 + sin(115°) * 5) eli (0,87; 8,53).

Ohjelmoija voi usein ajatella näin: Kosini ja sini ilmoittavat, kuinka paljon jokin liikkuu vaaka- ja pystysuuntaan, kun kokonaissuunta on annettu ja kokonaismatka on 1. Jos kokonaismatka on muu kuin 1, vaaka- ja pystysuuntainen matka kerrotaan kokonaismatkalla.

Kellon viisarit

Kellotaulun keskipiste on ruudukon kohdassa (0, 0). Tuntiviisarin pituus on 3 ja minuuttiviisarin pituus on 4. Mihin ruudukon pisteisiin viisarit osoittavat, kun kello on 16:52?

Kello 0:00 tuntiviisarin kulma on 90°. Viisari liikkuu 12 tunnissa 360° eli tunnissa 30° eli minuutissa 0,5°. Kello 16:52 minuutteja on kulunut 16 * 60 + 52 = 1012, eli tuntiviisarin kulma on 90° - 0,5° * 1012 = -416°. Tuntiviisari osoittaa pisteeseen (cos(-416°) * 3, sin(-416°) * 3) eli pisteeseen (1,68; -2,49).

Kello 0:00 minuuttiviisarin kulma on 90°. Viisari liikkuu tunnissa 360° eli minuutissa 6°. Kello 16:52 minuutteja on kulunut 1012, eli minuuttiviisarin kulma on 90° - 6° * 1012 = -5982°. Minuuttiviisari osoittaa pisteeseen (cos(-5982°) * 4, sin(-5982°) * 4) eli pisteeseen (-2,97; 2,68).

Lopuksi

Ohjelmointikielten trigonometriset funktiot käyttävät yleensä radiaaneja, minkä vuoksi radiaani on luonteva kulman ilmoitustapa ohjelmoinnissa. Jos erityistä syytä asteiksi muuttamiseen ei ole, kulmia kannattaa käsitellä läpi ohjelman radiaaneina.

Tässä oppaassa "ruudukko" on viitannut tavanomaiseen koordinaatistoon, jossa koordinaatit kasvavat oikealle ja ylös. Tietokoneen näytöllä koordinaatit kasvavat kuitenkin yleensä oikealle ja alas. Tämän takia kulman kiertosuunta trigonometrisissa funktioissa onkin myötäpäivään.

Voit lähettää tästä oppaasta palautetta sähköpostilla. Mistä matematiikan alueesta haluaisit seuraavan oppaan kertovan?

Antti Laaksonen, 5.1.2007