Keskustelu: Yleinen keskustelu: Ellipsin ja paraabelin leikkauskohdat

Tiedän, että suoran ja ellipsin leikkauspisteet jaa sijoittamalla suoran yhtälön ellipsin yhtälöön y:n tilalle, esim.

Mutta paraabelin kanssa pistää pään pyörälle se, kun toisen asteen yhtälön sijoittaa tuohon y:n tilalle, esim.

Nyt en voikaan enää soveltaa binomilausetta. Intuitioni sanoo, että paraabelista pitäisi ottaa nollakohdat ja sitten nollakohdista arvot, jotka sijoitetaan kukin vuorollaan tuohon ellipsin y:n tilalle. Näin ainakin olisi mahdollista saada neljä leikkauskohtaa. Järkeni taas sanoo, että paraabelin nollakohdista ei ole tässä hyötyä. Myös kokeiluni osoittavat, että intuitioni on hakoteillä.

Eli miten lasken ellipsin ja paraabelin leikkauskohdat, kun lähtökohtana on ellipsin ja suoran vastaavat?

vesikuusi kirjoitti:

Eli miten lasken ellipsin ja paraabelin leikkauskohdat, kun lähtökohtana on ellipsin ja suoran vastaavat?

Onpa outo kysymys. Millä tavalla tuo aiempi tapaus on ”lähtökohtana”? Ehkä ongelma olisi helpompi hahmottaa, jos vain aloittaisit puhtaalta pöydältä ilman tuollaista harhaanjohtavaa ”lähtökohtaa”.

vesikuusi kirjoitti:

Intuitioni sanoo, että paraabelista pitäisi ottaa nollakohdat ja sitten nollakohdista arvot, jotka sijoitetaan kukin vuorollaan tuohon ellipsin y:n tilalle. Näin ainakin olisi mahdollista saada neljä leikkauskohtaa.

Kai nyt intuition pitäisi kertoa, että paraabelin nollakohta (y=0) ei voi olla tärkeä: kaikki paraabelit eivät edes leikkaa x-akselia, ja vaikka paraabeli olisi vakio (esim. y=x²), erilaisilla ellipseillä leikkauskohtia voi olla 0–4 ja ne voivat sijaita missä tahansa paraabelin varrella.

Paraabelin huipulla (derivaatan nollakohdalla) on sellainen merkitys, että samalla puolella huippua voi olla 0–2 leikkauskohtaa. Lisäksi ellipsin reuna-arvot on melko helppo laskea. Näistä tiedoista voi olla pientä käytännön hyötyä esimerkiksi yksittäisen tapauksen numeerisessa ratkaisemisessa.

vesikuusi kirjoitti:

Nyt en voikaan enää soveltaa binomilausetta.

En ymmärrä, mihin olet alunperinkään tarvinnut binomilausetta. (Vai etkö osaa muuten kertoa polynomeja?) Suoran tapauksessa tulee toisen asteen yhtälö, jonka voi yksinkertaisesti laskea auki ja ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Paraabelin tapauksessa tuloksena on neljännen asteen yhtälö, jonka ratkaiseminen on aika paljon mutkikkaampaa. Yksittäisissä tapauksissa ratkaisun voi tietenkin keksiä joskus helposti.

Ihan hyviä pointteja. Lähtökohtani ja hahmotusongelmani jothuvat varmaankin siitä, että olen tarkastellut tätä ongelmaa liian paljon vain ohjelmoinnin ja oman koodini näkökulmasta. Jotkin noista sanomistasi asioista tiesinkin jo, mutta lähtökohtani ja näkökulmani haittasi kokonaisuuden ymmärtämistä. Pitääkin varmaan aloittaa puhtaalta pöydältä, kuten sanoit.

Kiitos vastauksesta. Katsotaan, mitä saan tämän perusteella aikaiseksi.

Joissain tapauksissa numeerinen ratkaisija on helpompi koodata kuin symbolinen ratkaisukaava. Kaksiulotteinen Newtonin–Raphsonin iteraatio voisi myös toimia tässä ongelmassa hyvin.

Jatkanpa vielä. Olet saanut aikaan aivan oikean yhtälön, nyt pitää enää ratkaista se. Näyttää, että olet vain luovuttanut, kun yhtälö on tavallista mutkikkaampi. Vaikka yhtälö olisi liian vaikea ratkaistavaksi omilla taidoilla, ainakin voi muuttaa sen selvempään muotoon:

Tämän jälkeen yhtälön vasemmasta puolesta voi piirtää kuvaajan graafisella laskimella tai jollain ohjelmalla (vaikka gnuplot). Hyvä apuväline tutkimuksiin on myös Wolfram Alpha tai jokin vastaava omalle koneelle asennettava ohjelmisto (ilmaiseksi vaikka Maxima tai Octave). Esimerkiksi kun Wolfram Alphalle syöttää ellipsin ja paraabelin yhtälöt (näin), se piirtää niistä kuvaajat ja laskee yhtälöryhmän ratkaisut. Esimerkkisi sattuu olemaan sellainen, että paraabeli ja ellipsi eivät leikkaa ja yhtälöryhmän ratkaisut eivät siksi ole reaalilukuja.

Juu kiitos, saan kyllä piirrettyä ja ratkaistua nuo laskimilla. :D Olen tässä käyttänyt Geogebraa ja juuri tuota WolframAlphaa. Eikä tuo ehkä olisi liian vaikea minulle ratkaista paperillakaan. Haasteita aiheuttaa tuon laskentalogiikan siirtäminen koodiin, varsinkin kun en alun perin suunnitellut koodia tarpeeksi joustavaksi tällaisiin tilanteisiin.