Osaisiko kukaan neuvoa kuinka annetusta väittämästä keksitään sopiva universumi (U) ja predikaatit?
Esimerkkinä vaikka seuraava:
EX x. (P(x) OR Q(x)) -> EX x. P(x) & EX x. Q(x). josta ratkaisuna on annettu:
Olkoon S , siten että U = {1} ja P^S = {1}, Q^S = tyhjä joukko . Nyt implikaation vasen puoli on tosi ja oikea epätosi ja struktuuri näin vastaesimerkki.
Helpottaisi hieman tehtävien tekoa, jos aukeaisi idea. Miksi esim EX x. (P(x) OR Q(x)) on tosi juuri näillä P:n ja Q:n arvoilla?
Tuossa tehtävässä lienee tarkoitus osoittaa, että väittämä ei pidä paikkaansa. Väittämän mukaan jos P(x) tai Q(x) pitää paikkansa jollekin x:lle, niin siitä seuraa, että P(x) pitää paikkansa jollekin x:lle ja Q(x) pitää paikkansa jollekin x:lle. Vastaesimerkki osoittaa, että näin ei ole tilanteessa, jossa universumin ainoa alkio on 1, P(1) pitää paikkansa ja Q(1) ei pidä paikkaansa. Silloin implikaation vasen puoli pitää paikkansa, koska voidaan valita x = 1, jolloin P(1) tai Q(1) pitää paikkansa, koska P(1) pitää paikkansa. Kuitenkin implikaation oikean puolen mukaan Q(x) pitäisi päteä jollekin x:lle. Tällaista x:ää ei ole olemassa, koska Q(1) ei pidä paikkaansa ja ainoa alkio on 1.
Suomeksi väittämää voisi ajatella näin: Jos tiedetään, että talossa on jokin henkilö (mies tai nainen), niin talossa on varmasti mies ja talossa on varmasti nainen. Tämä ei kuitenkaan pidä paikkaansa, koska jos talossa on vain yksi mies, siellä on kyllä jokin henkilö, mutta siellä ei silti ole naista. Tässä siis "henkilö on mies" ja "henkilö on nainen" vastaavat predikaatteja P ja Q ja universumiin kuuluvat kaikki talossa olevat henkilöt.
Vastaavissa tehtävissä kannattaa yleensäkin miettiä, mitä väittämä "tarkoittaa" konkreettisesti. Sen jälkeen vastaesimerkin löytää yleensä helposti, jos sellainen on olemassa. Jos taas väittämä pitää paikkansa, pitää osoittaa, että olipa universumi ja predikaatit valittu miten tahansa, väittämä on totta.
Minustakin tässä on kyse vain siitä, että pitää keksiä vastaesimerkki, joka osoittaa, että jokin implikaatio ei päde. Keksimiselle ei oikein ole yleisiä algoritmeja. Tässä tapauksessa yleisen väitteen paikkansapitämättömyys on suhteellisen ilmeinen. Sehän sanoo, että jos on olemassa olio, jolla on ainakin toinen kahdesta ominaisuudesta, niin on olemassa olio, jolla on niistä ensimmäinen, ja olio, jolla on niistä toinen.
Käytetäänköhän opetuksessa tuollaisia vähän omituisia merkintöjä eikä aika vakiintuneita ja myös standardoituja (ISO 80000-2) logiikan merkintöjä kuten ∃x (P(x) ∨ Q(x)) ⇒ ∃x P(x) ∧ ∃x Q(x)? Minun oli ensin vähän vaikea hahmottaa, että symboli EX tarkoitti eksistenssikvanttoria eikä ollut sanan öexampleö lyhenne :-). Ja merkintä P^S vaikuttaa oudolta, eikä annetussa ratkaisussa kerrota, mikä S on, vaan vain sanotaan sillä olevan joitakin ominaisuuksia – ei siis vaikuta vastaesimerkiltä.
Varsinainen vastaesimerkki olisi esimerkiksi sellainen, jossa implikoituna universumina on vaikkapa joukko {1} ja P(x) on predikaatti ’x on parillinen’ ja Q(x) on ’x on pariton’.
Aihe on jo aika vanha, joten et voi enää vastata siihen.