Keskustelu: Yleinen keskustelu: Murtopotenssi ja negatiivinen kantaluku

Juurilausekkeita on varsin helppo tapa sieventää käyttämällä murtopontenssia hyväkseen. Murtopotenssimuotoa käyttäessä laskettiin sitten lukujen parillisia tai parittomia juuria, niin kantaluku ei saa olla negatiivinen. Taas jos lasketetaan suoraan juurimerkinnällä luvun parittomia juuria, niin juurrettava saa olla myös negatiivinen. Mietin tässä vain, että pystyykö millään tavalla sieventämään sellaisia murtopotenssilausekkeita, joissa on negatiivinen kantaluku? Itse nimittäin vihaan juurrettavien sieventämistä pelkästään juurten laskusääntöjä käyttämällä, koska se on jotenkin hankalaa...

lainaus:

Mietin tässä vain, että pystyykö millään tavalla sieventämään sellaisia murtopotenssilausekkeita, joissa on negatiivinen kantaluku?

http://fi.wikipedia.org/wiki/Potenssi­#Rationaalinen_eksponentti
Tuossa noista. Murtopotenssin tapauksessa on kantaluvun oltava positiivinen. Kyseissä artikkelissa näytetään myös esimerkin avulla miksi tällainen määrittely tehdään.

Luin keskusteluanne, en käsitä. Saako kysyä kuinka lasketaan 2 potenssiin x =1024. Käsittääkeni se hoituu logaritmien avulla.

Entäs derivointi, 4xtoiseen-2x+6, mikä on derivaatta(vai mikä sen nimi oli)

Murtopotenssit ja yhtälö 2^x=1024 on eri asia. Murtopotenssilla tarkoitetaan sitä, miten 12^{1/2} muutetaan muotoon 2*3^{1/2}.

lainaus:

kuinka lasketaan 2 potenssiin x =1024. Käsittääkeni se hoituu logaritmien avulla.

Sen voi tehdä logaritmien avulla, mutta matematiikassa kannattaa aina tehdä asiat mahdollisimman yksinkertaisesti. Funktio 2^x on aidosti kasvava, joten ratkaisuja on korkeintaan yksi. Toisaalta 2^{10}=1024.

lainaus:

Entäs derivointi, 4xtoiseen-2x+6, mikä on derivaatta

Derivaatta saadaan erotusosamäärän raja-arvosta. Funktio f:R->R on derivoituva, jos lim_{h->0}(f(x+h)-f(x))/h on olemassa. Nyt
(4(x+h)^2-2(x+h)+6-(4x^2-2x+6))/h=
(4(x^2+2xh+h^2)-2x-2h+6-4x^2+2x-6)/h=
(8xh+4h^2-2h)/h=8x+4h-2->8x-2, kun h->0.

Vaihtoehtoisesti voi käyttää derivaatan laskusääntöjä, eli tässä tapauksessa riittää tietää, että polynomit voidaan derivoida termeittäin ja funktion ax^n derivaatta on anx^{n-1}.

Tapsa kirjoitti:

Saako kysyä kuinka lasketaan 2 potenssiin x =1024.

Yksi tapa on siis muuttaa luku 1024 muotoon 2^x:

2^x = 1024
2^x = 2^10
x = 10

Logaritmeja käyttämällä lasku menee näin:

2^x = 1024
log(2^x) = log(1024)
x * log(2) = log(1024)
x = log(1024) / log(2)
x = 10

Ensin yhtälön molemmista puolista otetaan logaritmi. Sitten vasemmalla puolella logaritmin sisällä oleva eksponentti siirretään kertoimeksi. Lopuksi riittää ratkaista x:n arvo yhtälöstä.

Tapsa kirjoitti:

Entäs derivointi, 4xtoiseen-2x+6, mikä on derivaatta

Tässä ovat lausekkeen osien derivaatat:

D 4x^2 = 8x
D 2x = 2
D 6 = 0

Koko lausekkeen derivaatta on siis:

D 4x^2 - 2x + 6 = 8x - 2 + 0 = 8x - 2

Tosiaan jos derivoitava osa on muotoa ax^n, tulos on nax^(n-1) eli eksponentti lisätään kertoimeksi ja sitten eksponentista vähennetään yksi. Jos derivoitava osa on pelkkä luku, derivaatta on nolla.

Antti Laaksonen kirjoitti:

Koko lausekkeen derivaatta on siis:

D 4x^2 - 2x + 6 = 8x - 2 + 0 = 8x - 2

Eikös tuossa pidä olla sulut? Siis D(4x^2 - 2x + 6) = 8x - 2 + 0 = 8x - 2.

Jotta notaatio olisi yksiselitteinen niin kyllä. Tuohon voisi toki vielä lisätä, että minkä suhteen derivoidaan, mutta yhden muuttujan tapauksessa voidaan tehdä villejä oletuksia.

Jos funktio on 2x¨2-10x+4, niin voidaan derivoinnin avulla laskea kuvaajan ja x-akselin rajaama alue. Miten se menikään, olisi kiva muistella. Toiseksi haluaisin muistell kun 1-asteen-yhtälön näkee heti onko se laskeva vai nouseva lisäksi kulmakertoimen, mutta mitä voi nähdä 2-asteen yhtälöstä.

Integroinnilla saa pinta-aloja ja derivaatalla funktion kasvunopeuden. Toisen asteen yhtälö ei ole laskeva eikä nouseva, mutta toisen asteen termin kerroin kertoo, aukeaako paraabeli ylös vai alas. Tietysti huippuun asti paraabeli on nouseva tai laskeva.

Derivoinnillahan tuo pinta-alan laskeminen ei onnistu. Jos kuvaaja ei olisi toista astetta (lue: olisi ensimmäistä astetta) niin sen ja vaikkapa y- ja x-akselien rajaaman alueen pinta-alan voisi laskea ihan analyyttisen geometrian keinoin. Ratkaiset vain missä ensimmäistä astetta oleva kuvaaja (lue: suora) leikkaa kummatkin akselit ja tästä saat suorakolmaisen kolmion, jonka kateetit tiedät.