Keskustelu: Yleinen keskustelu: Matemaattinen ongelma

Matti on ajanhetkellä t0 kohdassa mp. Hän juoksee nopeudella |mv| ja kiihtyvyydellä |ma|. Pekka on paikoillaan ja heittää Matille pallon nopeudella pv suuntaan, jossa Matti on sillä ajanhetkellä t, jolloin pallo ja Matti ovat samassa kohdassa. Mikä on tämä kohta?

mp, mv, ma ja vastaus ovat vektoreita.

Jostain syystä en vain tajua miten tuo ratkaistaan.

Eihän tässä edes ole järkeä.

DrDeath kirjoitti:

Hän juoksee nopeudella |mv| ja kiihtyvyydellä |ma|.

Jos nopeus on kerran vakio mv, niin kiihtyvyys on 0. Muutenkin, jos || on tarkoitus kuvata itseisarvoa niin pitäisi puhua vauhdista |mv| tai nopeudesta mv, koska vauhti on nopeuden itseisarvo. (Esim. autoissa on vauhtimittari, ei nopeusmittaria)

DrDeath kirjoitti:

Pekka on paikoillaan ja heittää Matille pallon nopeudella pv suuntaan, jossa...

Miten voi heittää jollakin nopeudella johonkin suuntaan, kun nopeus (vektori) sisältää jo suunnan? Tämänkin pitäisi varmaan olla että heittää vauhdilla (skalaari, vektorin itseisarvo) |pv| suuntaan ...

Missä Pekka on? (onko origossa?) Ovatko "mv" ja "ma" yhdensuuntaisia? (jos ovat, on tehtävä helpompi ratkaista)

Grez, joo, anteeksi tarkoitin vauhtia. Korjaan alkuperäisen viestin:

Matti on ajanhetkellä t0 kohdassa mp. Hän juoksee nopeudella mv ja kiihtyvyydellä ma. Pekka on paikoillaan ja heittää Matille pallon vauhdilla |pv| suuntaan, jossa Matti on sillä ajanhetkellä t, jolloin pallo ja Matti ovat samassa kohdassa. Mikä on tämä kohta?

mp, mv, ma, pv ja vastaus ovat vektoreita.

Pekka voi olla origissa tai ei. Sillä ei ole kovinkaan paljoa merkitystä. mv ja ma saattavat olla yhdensuuntaisia, mutta silläkään ei ole merkitystä.
Huom. Pekan sijainti ja mv sekä ma ovat kaikki muuttujia.

Lopputuloksen pitäisi olla sellainen, että se sisältää muuttujina Pekan sijainnin, pallon vauhdin, Matin sijainnin, nopeuden ja kiihtyvyyden. Vastauksena edellisten tuloksena pitäisi tulla kohta, jossa Matti ja pallo ovat samassa kohdassa.

os kirjoitti:

Ovatko "mv" ja "ma" yhdensuuntaisia?

Tavallaan ovat, koska matin kiihtyvyys ma = 0, kun kerran matin nopeus on vakio eli mv. Ja kaikki vektorithan on periaatteessa samansuuntaisia nollavektorin kanssa.

Grez, Matilla on alussa nopeus mv joka muuttuu ma:n mukaan!

Jaa, luulin että pidit kiinni tuosta että Matti juoksee nopeudella mv, kun et korjannut sitä toiseen versioon vaikka huomautin siitä jo ensimmäisen jälkeen.

Eli pitäisi olla: "Hän juoksee alkunopeudella mv (hetki t0) ja kiihtyvyydellä ma."

Niin tietysti, olen pahoillani, mutta kiitos kun korjasit.

Tässä on ratkaisukaavat. Ensin ratkaiset t:n tuosta kaavasta 1 ja sitten kaavan 2 tulos on se kohta tai ne kohdat joissa Matti ja pallo ovat samassa kohti.

Numeerisestihan tuosta on helppo ratkaista t, ja jos vektorien ulottuvuus tunnetaan (oletettavasti 2- tai 3-ulotteisia vektoreita) niin tuosta voi helposti muodostaa ne yhtälön ratkaisukaavat yleiselläkin tasolla.

Edit: 0:03 laitoin vielä korjatun ja yksinkertaistetun version kaavasta, eli jos ehdit sitä ennen hakea, niin hae uudelleen.

No voi hyvänen aika sentään, kylläpä nyt onnistun kämmimään ihan perusintegroinnin ja unohdin sieltä 1/2 pois. Nyt pitäisi olla vihdoin ja viimein oikea kaava :D

Lopputulos on on pp + pvt o.O

Nyt en kyllä ihan ymmärtänyt...

Äkkiseltään jos tuon numeerisesti ratkaisee. Otin 1-ulotteisia vektoreita, kun laiskotti.

mp = [ 5 ]
mv = [ 3 ]
ma = [ 2 ]
pp = [ 2 ]
pv = [ 7 ]

Ratkaistaan t:
5 + 3t + 1/2 * 2 t^2 - 2 - 7t = 0
1 t^2 -4 t +3 = 0

t = (4 ± (16 - 12)^(1/2)) / 2
t = (4 ± 4 ^(1/2)) / 2
t = (4 ± 2) / 2
t = 2 ± 1
t = 3 tai 1

Eli sijainnit on

[ 5 ] + [ 3 ] t + 1/2 [ 2 ] t^2
= [ 5 ] + [ 3 ] t + [ 1 ] t^2

t arvolla 1: [ 5 ] + [ 3 ] + [ 1 ] = [ 9 ]
t arvolla 3: [ 5 ] + 3[ 3 ] + 9[ 1 ] = [ 23 ]

1 -ulotteisilla vektoreilla sijainnit olisi toki voinut laskea myös kaavasta "pp + pvt", ehkä tarkoitit tätä. Kuitenkin kun vektoreita käytetään, niin olettaisin että tehtävä pitäisi ratkaista muillakin kuin 1-uloitteisilla. Moniulotteisillakin toki ratkaisu on suuntavektorin s kanssa pp + |pv| s t / |s|, mutta tuon suuntavektorin s laskeminen on hankalampaa kuin käyttää antamaani kaavaa 2.

Niin, se suuntavektori s = mp + mvt + ma t^2 - pp

Joo, kiitos vastauksesta! Taidan olla ihan sekasin ^..

Edit: Mutta mitäs jos pv ei ole vektori vaan pelkästään vauhti? Ja tapahtumat ovat joko 2 tai 3 uloitteisia?

DrDeath kirjoitti:

Mutta mitäs jos pv ei ole vektori vaan pelkästään vauhti?

Eipä sillä ole väliä, sitten vaan korvaat noista kaavoista |pv| => pv. Kuten huomaat, missään kaavassani ei käytetä muutenkaan pv:stä muuta kuin itseisarvoa, eli siis käytännössä vauhtia.

DrDeath kirjoitti:

Ja tapahtumat ovat joko 2 tai 3 uloitteisia?

Tällä ei ole vaikutusta, kaavat toimivat suoraan miten moniulotteisille tahansa. Toki useamman ulottuvuuden tapauksessa noiden laskeminen on hieman rasittavampaa.

Eli siis tähän tyyliin: Esimerkki. En jaksanut noita t:n arvoja enää alkaa sijoittelemaan tuohon kakkoskaavaan, mutta sehän on anyways triviaali. En myöskään tarkistanut, että näin päässä laskettuna saattoi jäädä virheitä: