Olkoon U ~ Tas(0, 2*pii) eli tasajakautunut satunaismuuttuja välille 0 ja 2*pii. Olkoon sitten X = cos(U) U:sta riippuva satunnaismuuttuja. Mikä on X:n tiheys- ja kertymäfunktio (miten se ratkaistaan ihan yleisellä tasolla)?
Tasainen jakauma U käsittää kosinifunktion ensimmäisen syklin, mutta symmetrian nojalla voidaan jättää syklin loppupuolisko huomiotta. Jäljelle jää siis 1:stä -1:een laskeva pätkä kosinifunktion kuvaajaa (väli [0, π]). Kosini on tällä välillä aidosti vähenevä eli kaikki tietystä pisteestä oikealle olevat arvot ovat pienempiä, ja tällä onkin mukavasti suora yhteys kertymäfunktioon.
Alussa kertymäfunktio on tietenkin nolla ja lopussa 1, ja muutosvälillä [0, π] pätee
F(cos(α)) = 1-α/π
F(t) = 1-arccos(t)/π
Tiheysfunktio saadaan taas tästä derivoimalla, päätepisteet voi päätellä itse.
No höh, minulla oli jo laskimessa kerran tuo funktio ja katselin sen kuvaajaa että siinäpä olisi kovasti kyseistä kertymäfunktiota muistuttava käyrä. Totta puhuakseni en vieläkään täysin ymmärrä ratkaisua, varsinkin tuo F(cos(α)) = 1-α/π on hieman sumea, mutta tutkiskelen näitä hetken. Kiitos Metabolix avusta.
Kaava tulee siitä, että kohdassa α mukaan ovat kertyneet kaikki arvoa cos(α) pienemmät arvot, jotka kaikki sijaitsevat välillä α:sta π:hin. Näiden osuus koko välistä on siis (π-α)/(π-0), joka supistuu antamaani muotoon. Yleisessä tapauksessa kaavassa pitäisi käyttää jakauman U kertymäfunktiota kohdissa 0, α ja π. Jos jakauma olisi erilainen kosinin syklin jälkipuoliskolla, pitäisi hylätä symmetriaoletus ja laskea sen sijaan puoliskojen kertymäfunktiot erikseen ja lopuksi yhteen.
Ratkaisulle saa nopeasti tukea koodaamalla: miljoona arvoa tuolta väliltä saa laskettua ja skaalattua sopivalle kokonaislukuvälille hetkessä, jolloin saadaan kertymäfunktiolle melko tarkkoja arvoja tietyin välein.
Voit ajatella kertymäfunktiota näin: kun vedetään viiva yksikköympyrän keskeltä satunnaiseen suuntaan (kulma valitaan tasaisesta jakaumasta) ja se törmää jossain vaiheessa ympyrän kehään, kertymäfunktio F(t) kertoo, miten suurella todennäköisyydellä törmäyskohdan x-koordinaatti (kosini) on t tai vähemmän.
Kun kulma kasvaa 0:sta 2π:hin, x-koordinaatti laskee ensin 1:stä -1:een ja nousee sitten -1:stä 1:een. Ensimmäinen kohta, jossa x-koordinaatti on t tai vähemmän, on arccos(t), ja viimeinen kohta, jossa x-koordinaatti on t tai vähemmän, on 2π - arccos(t). (Kuvan piirtäminen auttaa paljon.)
Siis koko ympyrän kehästä (pituus 2π) kelpaa osuus kohdasta arccos(t) kohtaan 2π - arccos(t), joten vastaus on (2π - arccos(t) - arccos(t)) / 2π = 1 - arccos(t) / π.
Kyllä tämä nyt alkaa hitaasti valkenemaan. Itse esimerkki ei ollutkaan asian ydin, mutta jos oikein käsitin niin kertymäfunktion luomiseen ei ole ilmeisesti mitään valmista kaavaa, vaan se pitää algoritmimaisesti luoda ikään kuin maalaisjärjellä (?)
Kertymäfunktio on hyvin määritelty käsite, joten määritelmä antaa valmiin kaavan: Satunnaismuuttujan x kertymäfunktio F arvolla x_1 on todennäköisyys sille, että satunnaismuuttujan x arvo ei ylitä x_1:ä. Tuossa on valmis kaava. Eri tilanteista riippuen kaava sievenee eri muotoon.
Aihe on jo aika vanha, joten et voi enää vastata siihen.