Keskustelu: Yleinen keskustelu: Derivoimisapua

Tiede.fi foorumilla tuli vastaa seuraavanainen tehtävä:

tiede.fi kirjoitti:

Astia on kärjellään seisova avonainen ympyräkartio. Kartion pohjan säde on 6,6 cm ja sivujana 11,0 cm. Astia on täynnä vettä. Astiaan asetetaan pallo, joka sivuaa kartion vaippaa. Määritä pallon säde siten, että astiasta valuva vesimäärä on mahdollisimman suuri.

Olen ratkaissut tehtävän siihen pisteeseen, että minulla funktio V = f(r), joka pitäisi derivoida ja asettaa derivaattafunktion f'(r) arvoksi 0, ja lopuksi ratkaista muuttuja r.

Ensin ratkaisun taustat ja muuttujat.

r = tuntematon
h = pallosegmentin korkeus
a = ympyräkartion säde = 6,6

Ratkaisu perustuu pallon tilavuuden V_pallo ja pallosegmentin tilavuuden V_seg erotukseksi. Molempien tilavuuksien laskemiseen tarvittavat kaavat ovat yleisesti tunnettuja, sekä hyväksyttyjä.

Lopullinen kaava näyttää siis tältä:

(4 * PII * r³ / 3) - ((PII * r + sqrt(r² - a²) / 3) * 3 * r + sqrt(r² - a²))

Nyt tuo funktio pitäisi derivoida r:n suhteen. Ensimmäinen osa on triviaali jopa minulle, joten siitä tulee 4 * PII * r². Miten tuosta jatketaan?

sqrt(r² - a²) = (r² - a²)^1/2

ja

f(x)^c derivaatta on c*f(x)^c-1 * f '(x)

Minä sain tämän näköistä:

4 * PII * r² - ( PII + 1/2 * 1/sqrt(r² - a²) * 2r ) + 1/2 * 1/sqrt(r² - a²) * 2r

= 4 * PII * r² - ( PII + r/sqrt(r² - a²) ) + r/sqrt(r² - a²)

Edit: Pientä säätö sulkeiden kanssa.

Edit2: Uskomattoman vaikeata tuo yhtälöiden ratkaisu tuossa muodossa.

Edit3: Siellä on edelleen virheitä :/ Ratkaisen sen paperilla niin saattaa tulla jotain...

Erittäin hankalaa tässä muodossa yhtälöiden pyörittäminen, mutta isot kiitokset sinulle Gaxx. Nyt vain ratkaisemaan r tuosta ryppäästä. Empiirisesti kokeillen vastauksen pitäisi olla 2 ja kolmen välimaastossa.

Teuro, saat hieman yksinkertaistettua tilavuuden lauseketta laskemalla suoraan kartion sisään jäävän pallosegmentin tilavuuden.

Gaxx kirjoitti:

4 * PII * r² - ( PII + r/sqrt(r² - a²) ) + r/sqrt(r² - a²)

Eikös tuo sievene muotoon 4 * PII * r² - ( PII + 2r / sqrt(r² - a² ) = 0

EDIT jaa siellä on vielä virheitä

Paperilla sain tulokseksi 4*PII*r^2 - 6*PII*r - sqrt(r^2 - a^2) - r^2/sqrt(r^2 - a^2) - r/sqrt(r^2 - a^2)

r:n ratkaiseminen tuosta ei varmaan ole yhtään sen helpompaa... Itellä tuli kolmannen asteen yhtälö ratkaistavaksi.

No pyörittelin sitä vähän paperilla(kolmannen asteen yhtälö tietty laskimella) ja sain kolme ratkaisua: 10.1cm, 2.56cm ja 0.465cm. Putkan "matemaatikot" voivat sitten kertoa, menikö oikein :D

Edit: Eihän se mennyt, löysin ainakin yhden virheen, mutta nyt loppu mielenkiinto :)

Teuro, olet unohtanut sivujanan 11 cm. Pallo sivuaa kartion pintaa, ei sen reunaa.

setä kirjoitti:

Teuro, olet unohtanut sivujanan 11 cm. Pallo sivuaa kartion pintaa, ei sen reunaa.

Hyvä huomio!

Pitää muuttaa ajattelutapaa tuo minun ratkaisu toimisi siis ympyrälieriölle, muttei ympyräkartiolle. Toimisiko ratkaisun hakeminen siten, että määritetään kummalekin sivujanalle kohtisuora, joiden pituus olisi sama kuin niiden leikkauspisteestä yläreunaan?

Ratkaise ensin, miten pallon keskipisteen korkeus riippuu sen säteestä. Leikkaat sitten pallon kartion reunan korkeudelta ja lasket kartion sisäpuolele jäävän pallosegmentin tilavuuden.

Tässä toisenlainen lähestymistapa: laitetaan ympyräkartioon ensin pallo, joka mahtuu sinne kokonaan, ja pienennetään kartiota sitten vähitellen.

On selvää, että ratkaisu on seuraavien tilanteiden välissä: a) pallo mahtuu kartioon kokonaan ja sivuaa sen pohjaa; b) pallo sivuaa kartion vaippaa pohjan kohdalla. Jälkimmäinen voidaan korvata vielä hieman laajemmalla ehdolla, jottei tarvitse turhaan miettiä: c) pallo jää kartion ulkopuolelle mutta sivuaa sen pohjaa.

Huomataan ensiksi, että 6,6 : 11 = 6 : 10, ja käytetään sitten näitä uusia, helpompia lukuja laskuissa. Sisään mahtuvan pallon keskipiste ja samalla säde saadaan geometrisen tietämyksen avulla kulmanpuolittajien leikkauspisteen kautta. Säde on 6 / (10 + 6) * √(10² - 6²) = 3.

Sitten vain maksimoidaan kartion tilavuuden (tässä tapauksessa πr²h/3 = 3πh³/25) ja sen sisään jäävän pallosegmentin (πh²(r-h/3), tosin eri h ja r kuin edellisessä) välinen tilavuus. Muuttujaksi kannattanee valita jokin sellainen korkeus, jolla kaavoista tulee mahdollisimman yksinkertaiset. Lopuksi tietenkin skaalataan vastaus alkuperäiseen tilanteeseen.