Keskustelu: Yleinen keskustelu: 9,999... = 10!

Kuulin tämän kaveriltani, joka katsoi tämän wikipediasta.

Tässä todistus asiasta

x = 9,9999...
10x = 99,9999...
10x - x = 90
9x = 90
x = 10!

Suuri matemaattinen saavutus

Aivan oikein.

9,9999... = 10

Bazeuv kirjoitti:

x = 10!

eikö
9x = 90 || :9
ole
x = 10 ?

Mitäköhän järkeä tuossakin on, eihän tuo ole mikään oikea yhtälö, kun siinä muokataan lukuja aivan päättömästi.

Tumpelo kirjoitti:

Mitäköhän järkeä tuossakin on, eihän tuo ole mikään oikea yhtälö, kun siinä muokataan lukuja aivan päättömästi.

Jep, eihän yhtälön laskemisessa ole mitään järkeä, jos x tiedetään jo :(

1+1=2 opin tämän eka luokalla miksi osaako joku todistaa

Näinhän tuo on. Joskus tässä meilläkin oli juttua matikan tunnilla.
Wikipedian artikkeli löytyy tästä: http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

Ai niin, todistan teille myös, että sin(60°)=50 !

         x = (50x:sin[60°]) || ·sin(60°)
x·sin(60°) = 50x            || :x
  sin(60°) = 50

kyl toi ainakin mun silmään oikeelta näyttää..
käykää itte kattomas, siellähän se on todistettu kahelaki tapaa http://fi.wikipedia.org/wiki/0%2C999...

Tumpelo: ei siinä mitään kiellettyä tehdä, kaikki siirrot on sallittuja ;)

mielestäni toi murtolukutodistus on kyllä kivempi ja uskottavampi:
0,333... = 1/3 || ·3
0,999... = 3/3 = 1

miiro kirjoitti:

mielestäni toi murtolukutodistus on kyllä kivempi ja uskottavampi:
0,333... = 1/3 || ·3
0,999... = 3/3 = 1

Vielä selvemmin tämä näkyy näin:
1/9 = 0.111111...
2/9 = 0.222222...
3/9 = 0.333333..
4/9 = 0.444444...
5/9 = 0.555555...
6/9 = 0.666666...
7/9 = 0.777777...
8/9 = 0.888888...

9/9 = 0.999999...
9/9 = 1.000000
Joten 0.999999... = 1

PS. Otsikko ei ole kovin hyvä koska jos sen lukee matemaattisesti se on 9.999... = kymmenen kertoma eli 3628800.
Tämän ymmärtää tyhmäkin.

Minusta helpoiten ymmärrettävä todistus onnistuu sarjateorian(?) ja raja-arvon avulla.

Voimme esittää luvun 0.9999... geometrisen jonon(9/10, 9/100, 9/1000, ...) summana sigma<n=1->inf>(9/10ⁿ), missä inf = infinity = ääretön.

Maol kertoo geometrisen summan olevan myös muotoa S_n = a₁(1-qⁿ)/(1-q), jos yleinen termi on a_n = a₁*q^n-1. Meidän tapauksessa a₁ = (9/10)*(1/10)^n-1

Jos laskemme sarjan summan raja-arvon, kun n lähestyy ääretöntä

lim_n->inf[(1/10)*(1-(9/10)ⁿ)/(1-(9/10))]
=lim_n->inf[(1/10)*(1-(9/10)ⁿ)/(1/10)] // Alakertaa sievennetty
=lim_n->inf[(1/10)*(1-(9/10)ⁿ)*10] // alakerta pyöräytetty ylös
=lim_n->inf[(1-(9/10)ⁿ)] // Kympit supistettu pois

Koska termi q=9/10 on ykköstä pienempi niin termi (9/10)ⁿ lähestyy nollaa, kun n lähestyy ääretöntä. Täten

lim_n->inf[(1-(9/10)ⁿ)] = 1-0 = 1. MOT

Aiemmin esitetyissä todistuksissa minua mietityttää lähinnä se, että mitä tapahtuu, kun kerromme vaikkapa 0.999...:n jollain reaaliluvulla. Itse en osaa sanoa varmanpäälle, pitääkö yhtälö 10*0.999...=9.999... paikkansa. Käsite ääretön on melko vekkuli ja siitä on joskus vaikea saada näppituntumaa :)

Edit: pientä hienosäätöä...

Edit2: Tästäkin tuloksesta hyötyvät vain ääreismatemaatikot ja lisäksi korkeintaan ne, joista on kiva yrittää ymmärtää ympäröivää maailmankaikkeutta matemaattisin mallein.

10/3-3*3=1. Phew, 0.999... tuntuu olevan mahdoton saavuttaa..

-Grey-

Gaxx kirjoitti:

Itse en osaa sanoa varmanpäälle, pitääkö yhtälö 10*0.999...=9.999... paikkansa.

Pitäähän tuo. Juurihan osoitettiin, että 0.999... = 1 ja 9.999... = 10. Ja luonnollisesti 10*1 = 10. :)

Jos 0,999... ja 1 olisivat kaksi eri reaalilukua, niin niiden välissä pitäisi olla äärettömästi muita reaalilukuja. Kuitenkaan ainakaan minulle ei tule mieleen yhtään lukua, joka sopisi siihen väliin. Jos yritetään suurentaa lukua 0,999... kuitenkaan ylittämättä lukua 1, ainoa mahdollisuus on yrittää muuttaa jotain desimaaliosan numeroista. Mutta jokainen desimaaliosan numero on 9, joten numeron muuttaminen pienentää väistämättä lukua.

Kolme kulkuria otti majatalosta huoneen. He nukkuivat yhdessä ja aamulla isäntä ilmoitti huoneen hinnaksi 300mk. Miehet maksoivat 100mk kukin ja poistuivat tyytyväisinä.

Hetken kuluttua paikalle tuli majatalon emäntä ja hermoistui kuullessaan isännän laskuttaneen 300mk. Huonenn todellinen hinta on 250mk. Isännän ei auttanut muuta kuin lähteä juoksemaan kulkureita kiinni, palauttaakseen heille 50mk. Juostessaan hän kuitenkin tuli ajatelleeksi, että eihän 50mk mene kolmen kulkurin kanssa mitenkään tasan. Hän päätti laittaa omaan taskuunsa 20mk ja jakaisi kulkureille kullekin 10mk.

Kaikki olivat tyytyväisia. Nythän tilanne on se, että kun kulkureille kullekin oli palautettu kymppi, he olivat maksaneet kukin huoneesta 90mk.

Kun lasketaan yhteen kulkureiden maksamat rahat (90+90+90), saadaan summaksi 270mk. Kun tähän lisätään 20mk, jonka isäntä pimitti, on yhteissumma 290mk.

Mihin katosi siis 10 mk?

[(100mk - 10mk) * 3] + 20mk = 290mk

(250mk / 3 + 20mk / 3 + 10mk) * 3 = 300mk ( Tai no jos aletaan viilaamaan niin 299.999999.....)

tapoja on monia :D

10*9,9999... = 99,999... Tuossa on alussa se virhe, että 10-kertaisessa desimaaliluvussa on yksi numero vähemmän desimaaleja jolloin tarkasti ottaen 10x-x ei ole 90 vaan hitusen alle eli 89,9999... Siis todistelu ei päde ! Tietysti jos desimaaleja on ääretön määrä tuo ero on äärettömän pieni eli 0.

Oltaisiinkohan nyt asian ytimessä. Nimittäin sen asian, että miksi minua ei ikinä kiinnostanut matematiikka.

setä kirjoitti:

Tietysti jos desimaaleja on ääretön määrä tuo ero on äärettömän pieni eli 0.

Minusta tässä todistelussa nimenomaan haettiin sitä, että ysejä on pilkun jälkeen ääretön määrä. Tällöin tulos on jo melkein pääteltävissäkin.

Kukaan ei kuitenkaan koskaan onnistu kirjoittamaan tuota lukua auki, joten miksi emme kirjoittaisi suoraan 1? :)

x = 9,9999...
10x = 99,9999...
10x - x = 89,9999...
9x = 89,9999...
x = 9,9999...

Ei mikään matemaattinen saavutus

Oikeasti kyse on samasta luvusta kirjoitettuna vain eri muodossa. Jos desimaaleja on ääretön määrä ei desimaalimuoto ole mielekäs. Tuo juttu toimii vitsinä mutta ei matemaattisena todisteluna.

setä kirjoitti:

Tuo juttu toimii vitsinä mutta ei matemaattisena todisteluna.

Tulihan se totuus sieltä viimein.

Jaa, kyllä reaalilukujen joukkoon kuuluu 0,999...999 siinä kuin 0,999...998, jne. Muutoin reaaliluvut olisivat epätäydellisiä, ja sisältäisivät ikäviä aukkoja, jotka särkisivät täydellisen lukujen symmetrian.

JoinTuanJanohon kirjoitti:

Jaa, kyllä reaalilukujen joukkoon kuuluu 0,999...999 siinä kuin 0,999...998, jne. Muutoin reaaliluvut olisivat epätäydellisiä, ja sisältäisivät ikäviä aukkoja, jotka särkisivät täydellisen lukujen symmetrian.

Miten merkintä 0,999...999 sitten pitäisi tulkita?

Kaikki numeroin ilmaistut luvut ovat reaalilukuja mutta kaikkia reaalilukuja ei voi ilmaista numeroina. Numeroin ilmaistu luku on aina kvantisoitunut koska numeroita ei voi olla ääretön määrä. Siksi aina hypätään tietyn reaalilukualueen yli kun siirrytään esim. nollasta seuraavaan nollaa suurempaan lukuun. Sama pätee siellä toisessa päässä eli äärettömässä. Tästä on hyvänä esimerkkinä tietokoneiden käyttämät rajoitetut lukualueet. Mutta tämähän nyt on varsinaista pilkunviilausta.

hunajavohveli kirjoitti:

JoinTuanJanohon kirjoitti:

Jaa, kyllä reaalilukujen joukkoon kuuluu 0,999...999 siinä kuin 0,999...998, jne. Muutoin reaaliluvut olisivat epätäydellisiä, ja sisältäisivät ikäviä aukkoja, jotka särkisivät täydellisen lukujen symmetrian.

Miten merkintä 0,999...999 sitten pitäisi tulkita?

Ei sitä voi oikein tulkita muuta kuin niin, että desimaaleja on jokin numeroituva määrä n (kuuluu N). Tällöin on myös luvut 0,999...998abcd... jossa a, b, c , d ovat mielivaltaisia desimaaleja, eli JoinTuanJanohon:on lukujen välissä on vielä ääretön määrä reaalilukuja.

Äärettömän pituisella desimaaliesityksellä EI ole viimeistä desimaalia!

setä kirjoitti:

Kaikki numeroin ilmaistut luvut ovat reaalilukuja mutta kaikkia reaalilukuja ei voi ilmaista numeroina. Numeroin ilmaistu luku on aina kvantisoitunut koska numeroita ei voi olla ääretön määrä. Siksi aina hypätään tietyn reaalilukualueen yli kun siirrytään esim. nollasta seuraavaan nollaa suurempaan lukuun. Sama pätee siellä toisessa päässä eli äärettömässä. Tästä on hyvänä esimerkkinä tietokoneiden käyttämät rajoitetut lukualueet. Mutta tämähän nyt on varsinaista pilkunviilausta.

Reaaliluvut samastuvat nimenomaan äärettömiin desimaalilukuihin. Tämä samastus (desimaalilukujen ekvivalenssiluokat) on määritelty siten, että tietty desimaalijono ( 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ... ) esittää sitä reaalilukua, jota kohti sarja { 3 + 0,1 + 0,04 + 0,001 + 0,0005 + 0,00009 + 0,000002 ... } suppenee. Jokaisella reaaliluvulla on joko yksi (0.33333333333...) tai kaksi (0.999999999... = 1.0000000000...) ääretöntä desimaaliesitystä.

Äärelliset desimaaliluvut samastuvat rationaalilukuihin, jotka voidaan siis aina esittää myös äärellisessä muodossa, kuten 1/3 tai 0,2456. Tietokoneiden käyttämät liukuluvut ovat myöskin nimenomaan rationaalilukujen osajoukko. Eri tavoin esitettyjä reaalilukuja voi loogisesti samastaa keskenään:

1/3 = 0,333333...
1,0 = 1,000000...
Pi = 3,141592...

Kolme pistettä ei ole mikään tarkkaan määritelty merkintä, eikä sitä käytettäessä tietenkään aina oleteta, että lukija pystyy tuottamaan sen paikalle äärettömän määrän informaatiota.

Numeroiden pyörittely ei ole mikään matemaattisesti pätevä tapa todistaa, että 0,9999... = 1. Mainittua Wikipedian artikkelia (http://en.wikipedia.org/wiki/0.999) lainaten:

x = ...99999
x*10 = ...99990 = x - 9
9*x = -9
x = -1

eli ...9999999 = -1

mikä ei reaaliluvuilla pidä paikkansa (koska ...99999 ei ole mikään reaaliluku).

On aika tehdä keskustelulle tyrmäävä yhteenveto.

Koska 0,9999... = 1 ja ...999 = -1, kuten yllä aukottomasti osoitettiin, saamme nämä summaamalla tärkeimmän matemaattisen tuloksen, mitä voi kuvitellakaan.

0 = ...9999,99999... (ääretön määrä ysejä ja desimaalipilkku keskellä)

Tämän edessä on syytä hiljetä. Minä ainakin.

setä kirjoitti:

Kaikki numeroin ilmaistut luvut ovat reaalilukuja mutta kaikkia reaalilukuja ei voi ilmaista numeroina. Numeroin ilmaistu luku on aina kvantisoitunut koska numeroita ei voi olla ääretön määrä. Siksi aina hypätään tietyn reaalilukualueen yli kun siirrytään esim. nollasta seuraavaan nollaa suurempaan lukuun. Sama pätee siellä toisessa päässä eli äärettömässä. Tästä on hyvänä esimerkkinä tietokoneiden käyttämät rajoitetut lukualueet. Mutta tämähän nyt on varsinaista pilkunviilausta.

On kyllä pilkunviilausta, ja vieläpä huonosti ilmaistua sellaista tai väärää sellaista. Mitäköhän meinaat nollaa seuraavalla luvulla? Reaaliluvuissa on hankalampi homma sellainen määritellä.

Ja huonosti ilmaistu tulee kyseseen, jos tarkoitit, että tuo nolla on siellä jossain desimaaliosassa. Voisin arvata, että tätä tarkoitit. Eli jos yritän selkiyttää mitä ehkä tarkoitit, niin esim. välillä [1,0000,10001] on äärettömän monta reaalilukua. Matemaattista ilmaisua käyttäen en jaksa tuota alkaa ilmaisemaan, kun pitäisi ties mitä erikoismerkkejä alkaa kaivelemaan jostain.

Liekö asialla väliä. Vaikka kehitettäisiin laskin joka osaa laskea äärettömällä tarkkuudella lukuja, tuskin kukaan jaksaa näpytellä ääretöntä määrää ysejä. Tai sitten minä olen vain äärettömän tyhmä.

Päärynämies, ilmaisin asian huonosti. Tarkoitin numeroin ilmaistavia lukuja ja pienintä nollaa suurempaa lukua. Jos se olisi esim. 1*10^-1000 niin tuon ja nollan väliin jää ääretön määrä reaalilukuja.

setä kirjoitti:

Päärynämies, ilmaisin asian huonosti. Tarkoitin numeroin ilmaistavia lukuja ja pienintä nollaa suurempaa lukua. Jos se olisi esim. 1*10^-1000 niin tuon ja nollan väliin jää ääretön määrä reaalilukuja.

Minusta on sinällään kyllä jo hölmöä puhua pienimmästä nollaa suuremmasta luvusta, koska sellaista ei ole reaalilukujen joukossa. Niille, jotka eivät matikkaa pahemmin osaa, niin tämän todistaminen on helppo.

Otetaan luku a, joka kuuluu reaalilukuihin ja a:lle pätee, että a>0. Valittiimpa a:n arvoksi mikä hyvänsä, niin aina pätee, että (a/2) > 0 kuuluu reaalilukuihin ja että a>(a/2) (jakaminen puolittain 2:lla tapahtui).

Sitten jotain aiheestakin. Tumpelo kerkesi jo ihmettelemään, että liekö asialla väliä. Kylläa ainakin matemaatikoille, vaikka muista se vaikuttaisi pilkun viilaukselta. Matematiikka on kerta eksaktia tiedettä ja siellä on omat keinonsa myös käsitellä erilaisia äärettömyyksiä ja muita vekkuleita asioita (kyllä, äärettömyyksiäkin on erilaisia ja niitä voidaan jakaa eri ryhmiin). Tämänkään ketjun asiaa ei voida jättää lukuteoriassa huomioimatta.

Numeroin ilmaistussa luvussa, olkoon sitten rationaaliluku, on äärellinen määrä numeroita ja silloin aina löytyy se pienin nollaa suurempi luku. Jos numeroita tarvitaan ääretön määrä, sitä ei voi numeroin ilmaista. Tämä on nyt aika turhaa höpinää ja sai alkunsa tuosta todistelusta, joka perustui siihen että merkittiin vain 89,9999... tilalle 90 kun samoin perustein olisi voitu suoraan korvata 9,9999... luvulla 10.

setä kirjoitti:

Numeroin ilmaistussa luvussa, olkoon sitten rationaaliluku, on äärellinen määrä numeroita ja silloin aina löytyy se pienin nollaa suurempi luku. Jos numeroita tarvitaan ääretön määrä, sitä ei voi numeroin ilmaista. Tämä on nyt aika turhaa höpinää ja sai alkunsa tuosta todistelusta, joka perustui siihen että merkittiin vain 89,9999... tilalle 90 kun samoin perustein olisi voitu suoraan korvata 9,9999... luvulla 10.

Korjataampa vielä hieman. Kyllä numeroin ilmaistunakin pätee sama asia, että ei ole olemassa rationaalilukujen joukossa lukua, joka olisi yksiselitteisesti nollasta seuraava. Todisteita seuraa tietysti, kerta matematiikasta on kyse:

Kuulukoot luku n luonnollisiin lukuihin (koska helpoin käsittää "numeron ilmaistavana"). Olkoot r rationaalilukujen joukkoon kuluva luku ja määritellään, että r = 1/n. Kun n lähenee äärettömyyttä, niin r lähenee nollaa. Kuitenkin aina voidaan kasvattaa n:n arvoa yhdellä, eli ei ole olemassa nollasta seuraavaa lukua.

Muutenkin tuollainen käsite kuin numeroilla ilmaistavuus ja siitä jauhaminen on yhtä tyhjän kanssa. Sillä on hyvin vähän tekemistä matematiikan kanssa, sillä tuollaista aina voidaan kiertää erilaisin murtoluvuin ja muutoin. Turha siis alkaa sellaiseen kiinnittämään huomiota. Numeroin ilmaistaivilla luvuilla laskeminen ja ajattelu, on yhtä tyhjän kanssa. Turha sotkea tuollaisia "kansankäsitteitä" matematiikkaan.

Äärettömän merkki ei ole numero. Esim. tietokoneen lukualueella on se pienin nollaa suurempi luku ja lopulta se tulee vastaan muuallakin, loppuu paperi tai kynä tai aika ellei sitten hermot. Ja väitinkin, että tuon pienimmän ja nollan välillä on aina ääretön määrä reaalilukuja vaikka otetaan se vähän pienempikin tai puolisko tilalle. Siinä mielessä tarkoitamme samaa että tuon pienimmän määrittely on epämääräinen ja riippuu välineistä. Mutta se on olemassa jos numeroiden määrä on rajallinen. Siis et pääse rajattoman lähelle nollaa rajallisella määrällä numeroita. Tottakai 1/n lähenee nollaa kun n lähenee ääretöntä, mutta tässä se ei siis tule kysymykseen.

jos matematiikassa haettaisiin pelkkiä kaavoja eikä toteutettaisi numeraaleihin,
se kääntyisi enemmän filosofian ja ideologian puolelle.

elikä tässäkin 0.(9) tapauksessa jossa luku on ääretön jatkumo,
me IHMISET teemme siitä sen ykkösen koska emme pysty moista numeroa käsittämään.
saatika todellisuudessa käyttämään.

jos viisaat on joskus jo puolestamme päättäneet että 0.(9) on 1, niin olkoon :D
jonkun se oli tehtävä. Pirun hankalassa maailmassa elettäisiin muuten jos mitään ei pelkistettäisi helposti ajateltavaksi ja käsiteltäväksi käsitteeksi.

"other words, "0.999…" represents the same number as the symbol "1". The equality has long been accepted by professional mathematicians and taught in textbooks."

Seuraavaksi varmaan väitellään energiasta.

"There is a fact, or if you wish, a law, governing natural phenomena that are known to date. There is no known exception to this law — it is exact so far we know. The law is called conservation of energy; it states that there is a certain quantity, which we call energy that does not change in manifold changes which nature undergoes. That is a most abstract idea, because it is a mathematical principle; it says that there is a numerical quantity, which does not change when something happens. It is not a description of a mechanism, or anything concrete; it is just a strange fact that we can calculate some number, and when we finish watching nature go through her tricks and calculate the number again, it is the same."

Ah, todellakin. 0.99999.. äärettömästi on 1. Voin selittää sen aika helposti. Eli otetaanpas ykkönen. Jaetaan se kolmella. Tulee 0.33333... Nyt, jos tuo kerrotaan uudelleen kolmosella, tulee 1. Laskekaa 1/3*3=1! Ei ole vaikeaa edes minun huonoilla matematiikan taidoillani. Te tyypit vain ajattelette liian vaikeasti :-P

-Grey-

Tehtävä: Todista yhtäsuuruusmerkin vaihdannaisuus.

groovyb kirjoitti:

Kolme kulkuria otti majatalosta huoneen. He nukkuivat yhdessä ja aamulla isäntä ilmoitti huoneen hinnaksi 300mk. Miehet maksoivat 100mk kukin ja poistuivat tyytyväisinä.

Hetken kuluttua paikalle tuli majatalon emäntä ja hermoistui kuullessaan isännän laskuttaneen 300mk. Huonenn todellinen hinta on 250mk. Isännän ei auttanut muuta kuin lähteä juoksemaan kulkureita kiinni, palauttaakseen heille 50mk. Juostessaan hän kuitenkin tuli ajatelleeksi, että eihän 50mk mene kolmen kulkurin kanssa mitenkään tasan. Hän päätti laittaa omaan taskuunsa 20mk ja jakaisi kulkureille kullekin 10mk.

Kaikki olivat tyytyväisia. Nythän tilanne on se, että kun kulkureille kullekin oli palautettu kymppi, he olivat maksaneet kukin huoneesta 90mk.

Kun lasketaan yhteen kulkureiden maksamat rahat (90+90+90), saadaan summaksi 270mk. Kun tähän lisätään 20mk, jonka isäntä pimitti, on yhteissumma 290mk.

Mihin katosi siis 10 mk?

Kolme kulkijaa maksoi 3 * 90 mk = 270 mk
Isäntä pimitti 20 mk
Majatalo sai 250 mk = 300 mk - 50 mk

groovyb kirjoitti:

Kun lasketaan yhteen kulkureiden maksamat rahat (90+90+90), saadaan summaksi 270mk. Kun tähän lisätään 20mk, jonka isäntä pimitti, on yhteissumma 290mk.

Minä lisäisin tuohon 270 markkaan ennemmin kulkureille palautetut 30 markkaa, enkä isännän pimittämät 20 markkaa, jotka jo sisältyvät tuohon 270 markkaan. :)

setä kirjoitti:

Äärettömän merkki ei ole numero. Esim. tietokoneen lukualueella on se pienin nollaa suurempi luku ja lopulta se tulee vastaan muuallakin, loppuu paperi tai kynä tai aika ellei sitten hermot. Ja väitinkin, että tuon pienimmän ja nollan välillä on aina ääretön määrä reaalilukuja vaikka otetaan se vähän pienempikin tai puolisko tilalle. Siinä mielessä tarkoitamme samaa että tuon pienimmän määrittely on epämääräinen ja riippuu välineistä. Mutta se on olemassa jos numeroiden määrä on rajallinen. Siis et pääse rajattoman lähelle nollaa rajallisella määrällä numeroita. Tottakai 1/n lähenee nollaa kun n lähenee ääretöntä, mutta tässä se ei siis tule kysymykseen.

No jos jatketaan vielä numeroiden määrän rajallisuudella, niin edelleen tuollainen numeroiden rajoittaminen on hölmöä tämän kaltaisissa asioissa, koska silloin ei voida tiettyä tarkkuutta suurempaa saavutta ja matematiikka taas toimii aivan toisin. Tietenkään ei rajattoman lähelle nollaa pääse, jos on käytössä vain n määrä numeroita, jotka ladotaan peräkkäin (tai miten nyt tykkääkään). Tuollainen rajoitus vaan ei ole kovin järkevää, koska tuo on enemmän sellaista kansanomaista tapaa ajatella. Matematiikka ei toimi noin, että rajoitetaan vaan siihen, että mitä voidaan numeroilla ilmaista. Se on laskentoa enemmänkin. Matematiikassa on omat keinonsa käsitellä päättymättömiä lukuja ja tuollaiset hölmöydet voisi unohtaa alkuunsa.

Ymmärrän hyvin mitä tarkoitat ja ajat takaa, mutta esität sen väärin tai tavalla joka ei ole matemaattikalle ominaista. Ja pienimmän luvun määrittely ei riipu millään tapaa välineistä, vaan käytettävästä lukujoukosta. Et taida olla kovin paljoa matematiikka olla opiskellut, ainakaan lukion asioista pidemmälle menevää.

Tämä on julkinen sivusto eikä pitäisi alentua henkilökohtaisuuksiin. Enimmäkseen täällä on fiksua porukkaa. Käytännössä kaikki numeerinen laskenta tapahtuu rajatulla lukualueella ja yleensä myös rajatulla tarkkuudella.

Tarkoitus ei ollut henkilökohtaisuuksiin mennäkään (enkä sitä mielestäni tehnyt). Mietin, että lisäisinkö edelliseen viestiini maininnan, ettei tämä ole mitään henkilökohtaista. Hölmöyksillä en tarkoittanut sinun ajatuksiasi, vain yleisempia asioita. Kirjoitustyylini voi olla välillä hieman kärkevä tai loukkaavan oloinen, mutta sanon mieluummin asioita suoraan kuin alan kiertelemään.

En antaisi itseni alentua henkilökohtaisuuksiin, sillä se vain johtaa pois varsinaisesta keskustelusta ja se ei hyödytä mitään. Tykkään vain välillä väitellä kovasti.

Pahoittelen, jos siis vaikutelman henkilökohtaisuuksiin menemisestä sait, se ei ollut tarkoitus. En tiedä mitä otit henkilökohtaisena, joten voin selventää ajatuksiani jos siltä tuntuu.

Ja on totta, että numeerinen laskenta tapahtuu rajatulla lukualueella, koska tietokoneet eivät pysty äärettömän pitkiä lukuja käsittelemään tarkasti, toisin kuin matematiikassa voidaan. Itse en numeerisesta laskennasta tai muista epäeksakteista matematiikan aloista niin kiinnostunut ole, juuri sen epätarkkuuden takia.