Keskustelu: Yleinen keskustelu: Todennäköisyyslaskenta

Heipähei. Tunnustan heti aluksi että olen aivan surkea todennäköisyyslaskuissa, vaikka matematiikassa on tuota menestystä riittänyt. Tuli vastaan tällainen pulma enkä millään keksi kaavaa tämän laskemiseen, eikä ole kirjallisuuttakaan saatavilla tähän hätään.

Heitetään 10-sivuista noppaa kymmenen kertaa. Mikä on todennäköisyys että saan ainakin n kertaa kolmosen, tai minkä tahansa ennalta valitun luvun. n on väliltä 1-10.

Pitääkö nämä väitteet paikkaansa?
- Testien järjestys ei vaikuta todennäköisyyteen
- Ennalta valittu numero ei vaikuta todennäköisyyteen

Ainakin osaan laskea todennäköisyyden että yksikään ei osu ennalta valittuun numeroon:

1. Heitto: 9 suotuista alkeistapausta (9/10)
2. Heitto: 9 suotuista alkeistapausta (9/10)
3. Heitto: 9 suotuista alkeistapausta (9/10)
:
10. Heitto: 9 suotuista alkeistapausta (9/10)

Eli 1 JA 2 JA 3 JA ... JA 10 = (9/10)^10 ~= 0,35

Yritin ikään kuin samalla tavalla laskea kaikkien mahdollisten eri tulosten todennäköisyydet yhteen mutta sain summaksi vain jotain 0,40 vaikka summa pitäisi tietysti olla 1,00. Miten tämä lasketaan?

Oletetaan esimerkin vuoksi, että noppaa heitetään vain viidesti. Tällöin kelvolliset heittosarjat näkyvät seuraavassa listassa:

333?? 33?3? 33??3 3?33? 3?3?3 3??33 ?333? ?33?3 ?3?33 ??333
3333? 333?3 33?33 3?333 ?3333
33333

Kysymysmerkki tarkoittaa jotain muuta lukua kuin kolmosta. Siis kolme kolmosta voi saada kymmenellä tavalla, neljä kolmosta viidellä tavalla ja viisi kolmosta yhdellä tavalla.

Todennäköisyys saada kolmonen on 1/10. Todennäköisyys saada jokin muu luku on 9/10.

Nyt esim. yhdistelmän 3?33? todennäköisyys on (1/10)*(9/10)*(1/10)*(1/10)*(9/10) eli (1/10)³*(9/10)². Kaikkien muidenkin tasan kolme kolmosta sisältävien heittosarjojen todennäköisyys on sama, koska niissä esiintyvät kertolaskussa samat luvut eri järjestyksessä.

Listan mukaan on olemassa kymmenen heittosarjaa, jossa esiintyy kolme kolmosta, mutta miten tämän voi laskea? Ratkaisu on kaava n!/(k!(n-k)!), jossa n on heittosarjan pituus ja k on kolmosten määrä. Siis 5!/(3!2!) = 10.

Kun heittosarjan pituus on n ja kolmosia täytyy saada tasan k, todennäköisyys on edellisen perusteella n!/(k!(n-k)!) * (1/10)^k * (9/10)^n-k. Siis todennäköisyys saada kolme kolmosta on 5!/(3!2!) * (1/10)³ * (9/10)² = 0,0081.

Tässä näkyvät eri kolmosten määrien todennäköisyydet tuon kaavan mukaan:

kolmosia  todenn.
--------------------
0         0,59
1         0,33
2         0,07
3         0,01
4         0,00
5         0,00

Todennäköisyyksien summa on 1, niin kuin pitääkin. Todennäköisyys saada kolme tai enemmän kolmosta on 0,01 + 0,00 + 0,00 = 0,01. Todennäköisyys saada yksi tai kaksi kolmosta on 0,33 + 0,07 = 0,40. Todennäköisyys saada ainakin yksi kolmonen on 1 - 0,59 = 0,41.

Todennäköisyyden kirjoissa tämän laskutavan nimi on toistokoe.

Kiitos näköjään tuolla toimii. En siltikään tajua tuota. On se ihmeellistä lukiossa ymmärsin heti derivoinnit ja integroinnit mutta yksinkertaiset todennäköisyyslaskennat tuottaa edelleen vaikeuksia.

Tuon ymmärtämistä voisi auttaa puun näköinen kuvio, jossa reitti haarautuu joka heitolla kahteen osaan sen mukaan, tuleeko nopasta haluttu luku vai ei.

         .
   1/10 / \ 9/10
       /   \
      .     .
1/10 / \   / \ 9/10
    /   \ /   \
   .    ..     .

Tuossa heitetään kahdesti noppaa, vasemmalle haarautuminen tarkoittaa kolmosta ja oikealle haarautuminen tarkoittaa muuta lukua. Kaksi reittiä johtaa lopputulokseen "yksi kolmonen", ja kummankin reitin todennäköisyys selviää kertomalla keskenään reitin osien todennäköisyydet: (1/10)*(9/10) ja (9/10)*(1/10). Kolmonen voi tulla joko ensimmäisellä tai toisella heitolla mutta ei molemmilla. Puuhun kannattaa piirtää vielä pari tasoa lisää, jolloin tilanne alkaa hahmottua varsin selvästi.

Onko tuo kaava n!/(k!(n-k)!) muuten sinulle selvä? Sillä voi laskea yleisemmin, kuinka monella tavalla k palloa voidaan sijoittaa n lokeroon, jos jokaiseen lokeroon mahtuu korkeintaan yksi pallo. Tai kuinka monta k:n henkilön ryhmää voidaan muodostaa n henkilöstä. Tai kuinka monta k:n kokoista osajoukkoa on n:n kokoisessa joukossa.

Antti Laaksonen kirjoitti:

Onko tuo kaava n!/(k!(n-k)!) muuten sinulle selvä?

Ei. Muistan tuon ja osaa laskea tuolla, mutta en ymmärrä sitä, joten en myöskään pysty soveltamaan kaavaa. Pitäisi vaan äkistää ja ajatella niin kylläkai se siitä aukenisi. Todennäköisyyslaskenta on vain aina ollut minulle järjen vastaista.