Keskustelu: Yleinen keskustelu: Hankala yhtälö

Ilmeisesti on päässyt tuossa armeijan aikana jotain unohtumaan, kun en tunnu saavan ratkaistua seuraavaa yhtälöä x:n suhteen vaikka kertasin pikaisesti lukion trigonometriaakin. Laskimen avulla tuota jo arvioinkin. Olisiko kellään pientä vinkkiä tähän miten jatkaa perinteisesti paperilla?

Yhtälö liittyy erääseen pitkään mielessä pyörineeseen onglemaan. Merkitsemällä sinx = T, päädyin aika uhkaavasti täydelliseltä 4. asteen yhtälöltä vaikuttavaan tilanteeseen.

d(sinx)^2 - d(cosx)^2 = Asinx - Bcosx

Kannattaa kerrata trigonometristen funktioiden palautuskaavat. Seuraava sääntö näyttäisi tuovan ratkaisun:

cos 2x = cos² x - sin² x = 2 cos² x - 1

Jaa-a. Maple ei ainakaan ollut erityisen selkeä, vaikka muuten olikin avulias.

> solve (d*(sin (x))^2 - d*(cos (x))^2=A*sin(x)-B*cos(x),x);

                 2
           2 d %1  - d - B %1
  arctan(- ------------------, %1)
                   A

                  2   4         3       2    2      2    2
  %1 := RootOf(4 d  _Z  - 4 d _Z  B + (B  + A  - 4 d ) _Z  + 2 d B _Z

            2    2
         - A  + d )

Senkin mielestä siis tulee neljännen asteen yhtälön juuret kuviohin mukaan. Tietenkin asiaa kannattaa paperillakin tutkia ja kokeilla. En nyt äkkiä keksinyt mitään mainittavaa siltä suunnalta.

KemXy kirjoitti:

Merkitsemällä sinx = T, päädyin aika uhkaavasti täydelliseltä 4. asteen yhtälöltä vaikuttavaan tilanteeseen.

Eipä ihme. Galois'n teorian avulla voidaan osoittaa, että muuttipa yhtälön miten tahansa polynomiyhtälöksi, on saatu yhtälö vähintään neljättä astetta. Tietysti sopivilla d:n A:n ja B:n arvoilla yhtälöstä tulee yksinkertaisempi, mutta yleisessä tapauksessa päätyy neljännen asteen yhtälöön. Ratkaisukaava neljännen asteen polynomiyhtälölle on olemassa, mutta sen käytännön hyöty on melko vaatimaton. Numeerisesti yhtälö on helppo ratkaista jos vakioiden d, A ja B arvot tiedetään.

Juuh...kiitoksia. Täytynee tyytyä ihan numeeriseen ratkaisuun. Kerronpa sen ongelman, jota yritin tällä ratkaista. Tämä on alunperin yläasteen koetehtävä!:

Ovesta, jonka leveys on A ja korkeus B, halutaan viedä läpi pitkä levy. Levyn paksuus on d. Kuinka leveä (L) levy voi leveimmillään olla?

Tein pikaisesti lyhennelmän omista muistiinpanoistani. Sen voi ladata tästä.

Korjatkaa ihmeessä jos olen mennyt metsään. Yllättävän vaikea tehtävä, vaikka näyttää aluksi helpolta.

Tuostahan saa suoraan Pythagoran kaavalla ratkaisun. Merkitään x = d * B / sqr(A^2 + B^2)

L = sqr((A - x)^2 + (B - x*A/B)^2) = 2,157 m

setä kirjoitti:

Tuostahan saa suoraan Pythagoran kaavalla ratkaisun. Merkitään x = d * B / sqr(A^2 + B^2)

Hmm..tuleeko x tuossa verrannosta (yhden muotoiset kolmiot)?

x = d * B / sqr(A^2 + B^2) | : d , d != 0
x / d = B / sqr(A^2 + B^2)

Eikös tällöin tuon levyn täytyisi olla yhdensuuntainen oven lävistäjän kanssa mitä se ei mielestäni leveimmässä tapauksessa ole, kun d > 0. Toisaalta tulokset ovat kyllä hyvin lähellä toisiaan, joten suurta virhettä ei synny.

Mutta paskummalla levyllä esim. A = 1,00m, B = 2,00m ja d = 0,25m, niin sain omalla viritelmälläni L = 2,06 m ja tuolla kaavalla L = 2,04 m.

Aivan oikein, erehdyin. Olimpas huolimaton.

Pienen kaavojen pyörittelyn jälkeen sain tälläisen kaavan:
L⁴-(A²+B²+2d²)L²+4dABL+d⁴-(A²+B²)d² = 0

Joku muu tarkistakoon. Näyttäisi antava vähän alle 2,06m tuossa esimerkkitapauksessa.

FooBat kirjoitti:

L⁴-(A²+B²+2d²)L²+4dABL+d⁴-(A²+B²)d² = 0

Millaisilla pyörittelyillä päädyit tuohon yhtälöön?

KemXy kirjoitti:

FooBat kirjoitti:

L⁴-(A²+B²+2d²)L²+4dABL+d⁴-(A²+B²)d² = 0

Millaisilla pyörittelyillä päädyit tuohon yhtälöön?

Yhdenmuotoisista kolmioista peräisin olevilla verrannoista ja pythagoraan lauseesta.

Verrannoista:
d / x = L / (B - y) => y = B - xL/d
d / y = L / (A - x)

x = (dBL-d²A)/(L²-d²)
y = B - (BL²-dAL)/(L²-d²)

Pythagoraalla
L² = (A - x)² + (B - y)²
=>
(L²-d²)² = (AL - dB)² +(BL -dA)²
=>
L⁴-(A²+B²+2d²)L²+4dABL+d⁴-(A²+B²)d² = 0

Juurten etsiminen jätetään harjoitustehtäväksi.
http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation

Aivan, kiitoksia vaan. Niin sitä vaan itse ajattelee jotenkin liian vaikeasti. :)

Tämä oli todellakin kerran erään yläasteen koetehtävä. Onnistuin tuolloin osoittamaan, että opettajan ratkaisuperiaate oli väärä (levy yhdensuuntainen oven lävistäjän kanssa kun A != B), mutta itse ongelma jäi silloin ratkaisematta. Kaiveli pitkään mielessä joten pitihän se selvittää pois.