Tervehdys,
tuli mieleen hankalana matemaattisena pähkinänä erään Venäjällä 1980-luvulla sähköinsinööriksi opiskelleen insinöörin antama laskutehtävä evästyksellä "Jos koskaan pystyt ratkaisemaan tämän tehtävän, niin voit pitää itseäsi älykkäänä ihmisenä."
Tehtävä on seuraava:
Sonni Iivari on ympyränmuotoisella laitumella. Miten pitkässä lieassa Iivarin pitää olla, että se saa syötyä täsmälleen puolet ympyränmuotoisesta laitumesta. Iivarin lieka on kiinnitetty laitumen ulkokehään, ei siis keskelle laidunta puutappiin, jolloin tehtävä olisi helppo. Tarkkaa ratkaisua ei tietysti ole, koska piin lukuarvo on likiarvo. Lukua 3,14 voi käyttää laskennassa. Ympyrän säde on 10 m.
Kotipuolessa oli eräs matemaattisesti huippulahjakas kaveri, jolle ei löytynyt kuulemma lukion pitkästä matematiikasta sellaista laskua, jota hän ei olisi osannut laskea oikein. Hänkin oli joutunut miettimään tätä tehtävää peräti kokonaisen päivän ennen kuin sai tehtävän laskettua. Tuttu yliopiston proffa ei onnistunut laskemaan sitä.
Mielenkiintoinen ajatus olisi se, saisiko tälle tehtävälle ohjelmoitua ratkaisun tietokoneohjelman avulla. Toki voi koettaa ratkaista sen ilmankin jos haluaa.
Yhtälön muodostaminen on helppoa: syötävä alue muodostuu kahdesta segmentistä, joilla on sama suora mutta eri kaari (toisella pellon reuna, toisella eläimen elinpiirin reuna). Alueen pinta-alalle voi siis muodostaa yhtälön ihan perinteisestä taulukkokirjasta löytyvillä kaavoilla, jos ei osaa niitä itse johtaa tutusta perusgeometriasta. Kaavan voi halutessaan katsoa netistä. Sinänsä tehtävä on yleisesti tunnettu ja löytyy myös sellaisenaan netistä. Jos yhtälön muodostus ei onnistu lukion pitkässä matematiikassa opituilla taidoilla, täytyy katsoa peiliin.
Yhtälön ratkaiseminen onkin sitten hankalampaa, mutta kun yhtälö on muodostettu, numeerinen ratkaisu mielivaltaisella tarkkuudella onnistuu kyllä erittäin helposti. Numeerisen ratkaisun menetelmiä käsitellään lukiossa, ja niitäkin löytyy perinteisestä taulukkokirjasta.
lainaus:
Mielenkiintoinen ajatus olisi se, saisiko tälle tehtävälle ohjelmoitua ratkaisun tietokoneohjelman avulla. Toki voi koettaa ratkaista sen ilmankin jos haluaa.
Absurdia: kirjoitat nettiselaimella viestiä maailmanlaajuisessa tietoverkossa, ja mielestäsi on ”mielenkiintoista”, voiko yksinkertaisen matemaattisen ongelman ratkaista tietokoneella.
Jatkuvan ja derivoituvan yhtälön numeerinen ratkaiseminen on tietokoneella erittäin helppoa. Tällä tavalla pääsee nopeasti niin tarkkaan tulokseen, kuin tietokoneen laskentakyky ylipäänsä sallii.
Perinteisenä tietokoneratkaisuna ongelmaan käy Monte Carlo -simulaatio eli se, että arvotaan pisteitä pellolle ja lasketaan sitten, millä narun pituudella elukka saa syötyä puolet arvotuista pisteistä. Tässä on arvonnasta JavaScript-versio. Mitä tarkemman vastauksen haluaa, sitä enemmän pisteitä täytyy arpoa, ja huonolla tuurilla vastaus voi olla silti väärä.
<!DOCTYPE html>
<meta charset="UTF-8">
<script>
var l_min = 0, l_max = 2, otos = 100000
function tarkenna() {
var n_min = 0, n_max = 0, t = []
while (t.length < otos) {
var x = Math.random() * 2 - 1, y = Math.random()
if (x * x + y * y <= 1) {
x -= 1
var l2 = x * x + y * y
if (l2 <= l_min * l_min) {
n_min += 1
} else if (l2 >= l_max * l_max) {
n_max += 1
} else {
t.push(l2)
}
}
}
t.sort()
while (n_min < n_max && t.length) {
t.shift()
n_min += 1
}
while (n_max < n_min && t.length) {
t.pop()
n_max += 1
}
if (t.length > 300) {
l_min = Math.sqrt(t[1 * t.length / 10 | 0])
l_max = Math.sqrt(t[9 * t.length / 10 | 0])
return true
}
}
function nappi() {
if (tarkenna()) {
var s = (10 * l_min) + " – " + (10 * l_max)
document.querySelector("#ratkaisu").textContent = s
} else {
alert("Tarkennus ei onnistunut kohtuullisella vaivalla.")
}
}
window.onload = function() {
nappi()
}
</script>
<p>Jos niityn säde on 10 m ja vuohi on sen laidalla kiinni,
miten pitkällä narulla vuohi ylettyy syömään puolet niitystä?</p>
<p>Ratkaisu: luultavasti <span id="ratkaisu"></span> metrin narulla.
Muista vähentää tästä vuohen pään ja kielen pituus!</p>
<p><button onclick="nappi()">Laske tarkemmin!</button></p>Tervehdys,
humanistikoulutuksella ja lukion lyhyellä matematiikalla näistä asioista ei tietenkään itse tiedä mitään ennestään ja yksinkertainenkin matemaattinen asia saattaa tuntua hienolta ja mahdottomalta ratkaista varsinkin tietokoneella.
Itse huomasin aikoinaan, että Iivarin lieka on itseasiassa toisen isomman ympyrän säde, joka kattaa osittain Iivarin syömän pinta-alan, mutta ehkä tämäkin jo sanottiin selityksessä eli isompi, pääosin näkymätön ympyrä on toisen pienemmän ympyrän (Iivarin laidun) päällä. Iivarin lieka on tällöin kiinnitetty sen isomman ympyrän keskipisteeseen.
Kirjoittajasta kannattaa muistaa, että hän on perustyhmä humanisti, joka kannattaisi ehkä vain pysyä lestissään 😊.
No tästäkin huolimatta: Glada Vappen!
lainaus:
Itse huomasin aikoinaan, että Iivarin lieka on itseasiassa toisen isomman ympyrän säde, joka kattaa osittain Iivarin syömän pinta-alan, mutta ehkä tämäkin jo sanottiin selityksessä
Itse olisin vähän sitä mieltä, että tämä sanottiin jo tehtävänannossa.
Mitä tuohon alkuperäiseen tarinaan tulee, niin onhan se hauska tarina, mutta todenperäisyydestä en olisi samaa mieltä.
lainaus:
"Jos koskaan pystyt ratkaisemaan tämän tehtävän, niin voit pitää itseäsi älykkäänä ihmisenä."
Joku on näin voinut tietysti sanoa, ja ainahan on mukava kuulla kehuja. Todellisuudessa kuitenkaan kyky ratkaista yksinkertaista matemaattista tehtävää ei tee kenestäkään automaattisesti älykästä. Minä itse olen hyvä esimerkki - osaan ratkaista tehtävän vaikka en ole älykäs.
Sitten taas kaikki älykkäät ihmiset ei välttämättä osaa tätä ratkaista - mutta niinhän tuossa ei sanottukaan.
lainaus:
Kotipuolessa oli eräs matemaattisesti huippulahjakas kaveri, jolle ei löytynyt kuulemma lukion pitkästä matematiikasta sellaista laskua, jota hän ei olisi osannut laskea oikein. Hänkin oli joutunut miettimään tätä tehtävää peräti kokonaisen päivän ennen kuin sai tehtävän laskettua. Tuttu yliopiston proffa ei onnistunut laskemaan sitä.
En usko että matemaattisesti huippulahjakkaalla menisi koko päivää. Eli joko kaveri ei ole kovin lahjakas tai sitten hän onnistui jotenkin sekoamaan tehtävän kanssa.
Viestistä ei käynyt ilmi minkä alan proffa oli kyseessä, mutta jos kyseessä oli vaikkapa teologian proffa (tmv. ei niin matemaattis-luonnontieteellisen alan), niin ei se mikään ihme ole.
Tervehdys,
kyseessä oli siis ammattikoulun sähköasentajalinjan opettaja, sähköinsinööri, joka oli opisekellut itse Venäjällä. Hän antoi tehtävän meille sähköasentajalinjan opiskelijoille haasteeksi siteeratuin sanamuodoin, jota tuolloin vuonna 1980 yritin pähkäillä ilman sitä lukion lyhyttä matematiikkaakaan. Sähköasentajaksi ei tullut kylläkään koskaan opiskeltua, vaan suunta vei muualle.
Älykkyyttä on kuulemma hankala määritellä yksiselitteiesti, joten kyky ratkaista tai olla ratkaisematta jokin tehtävää ei liene automaattisesti älykyyden mittari.
Proffakaverini oli tietotekniikan alalta väitellyt tohtori, työskentelee nykyisin biosignaalien lääketieteellisen tekniikan parissa.
Tuttu tehtävä, ja kyllä tuon pystyy lukiotiedoin ratkomaan, jos jaksaa perehtyä numeeriseen matematiikkaan. Eräs tapa tehdä yhtälö kymmenmetriselle säteelle on annettu matematiikkalehti Solmussa. Tämän voi ratkaista vaikka Pythonin scipyllä:
import numpy
import scipy
import scipy.optimize
def f(x):
y=400*x*numpy.cos(x)**2-100*numpy.sin(2*x)-200*x+50*numpy.pi
return y
kulma = scipy.optimize.newton(f, 1)
print(20*numpy.cos(kulma))Tulostus on
11.587284730181215
Hassua, että yhtälö on jätetty Solmu-lehdessä tuollaiseen muotoon, kun voitaisiin jatkaa vielä muotoon 4α cos(2α) − 2 sin(2α) + π = 0.
from math import sin, cos, pi
a_min, a_max = 0.9, 1.0
while True:
a = (a_min + a_max) / 2
if not a_min < a < a_max: # Onko saavutettu maksimitarkkuus?
break
elif 4 * a * cos(2 * a) - 2 * sin(2 * a) + pi < 0:
a_max = a
else:
a_min = a
köysi = 20 * cos(a)
print(f"10 metrin pellon reunassa sopiva köysi olisi {köysi:.3f} m")lainaus:
Tuttu yliopiston proffa ei onnistunut laskemaan sitä.
Ainakin yksi tuntemani yliopiston proffa on niin kiireinen, että en usko hänen miettivän tuollaista tehtävää yhtään, vaikka osaisikin ratkaista sen. Proffien työssä kuuluu paljon aikaa opetukseen, tutkimiseen, apurahojen hakemiseen ja byrokratiaan, että aikaa ei jää ylimääräisillä harjoitustehtäville. Assistentit tekevät malliratkaisut tehtäviin.
Aihe on jo aika vanha, joten et voi enää vastata siihen.