Väiteltiin tässä kavereiden kanssa sellaisesta asiasta, että jos äärettömästi tulostetaan 50/50 mahdollisuudella 1 tai 0, niin tuleeko sieltä väkisin joskus molemmat luvut, vai voiko toinen luku jatkua äärettömiin.
Kaikki lähti siitä, että yhden kaverin mielestä PII:n loputtomuuden takia sen sisältäisi kaikkien maailman ohjelmien lähdekoodit binäärinä (ja samalla tietysti kaikki mahdolliset lukujonot). Koska PII ei ole mielestäni satunnainen, niin näin ei tapahdu välttämättä, vaan siihen on pieni mahdollisuus. Tästä sitten lähdettiin miettimään tuota alkuperäistä ongelmaa.
Onko tähän olemassa jotain oikeita matemaattisia todisteita kunnon professoreilta tai muilta kovilta jätkiltä?
Matematiikoilla on käytössään myös sana "mahdottomuus". Kun satttuma menee niin äärimmäisen pieneksi, se on matematiikoille juuri tuo "mahdottomuus", en muista kuin pieni se oli... mutta suunniilleen luku, jonka perässä on 100 nollaa. :)
Arvojoukko {0,1} on diskreetti, joten ei ole mitään mahdollisuutta siihen, ettei ääretön satunnaisotanta "löytäisi" kaikkia joukon alkioita, oli painotus ihan mikä tahansa.
Todennäköisyys arpoa 1 on 1/2, peräkkäin 11 on 1/4, peräkkäin 111 on 1/8 ja niin edelleen. Todennäköisyys pelkkien ykkösten esiintymiseen pienenee jatkuvasti, ja sen raja-arvo äärettömän monella arvonnalla on nolla, eli äärettömästi arvottaessa se toinenkin vaihtoehto äärimmäisen todennäköisesti joskus toteutuu.
Ääretön on kuitenkin abstrakti ja melko filosofinen käsite. Käytännön tasolla on selvää, että millä tahansa rajallisella otannalla on pieni mahdollisuus, että joukossa on vain ykkösiä. Tietenkin tästä tulee piankin epäolennaista, kun arvontojen määrä ylittää testausmahdollisuudet tai testaajan kiinnostuksen.
Tietokoneella asia on hieman toinen, koska tietokoneohjelmissa usein käytetään jonkinlaista pseudosatunnaisuutta, joka perustuu riittävän satunnaiselta näyttävään kaavaan.
pumppis kirjoitti:
Kaikki lähti siitä, että yhden kaverin mielestä PII:n loputtomuuden takia sen sisältäisi kaikkien maailman ohjelmien lähdekoodit binäärinä (ja samalla tietysti kaikki mahdolliset lukujonot). Koska PII ei ole mielestäni satunnainen, niin näin ei tapahdu välttämättä, vaan siihen on pieni mahdollisuus. Tästä sitten lähdettiin miettimään tuota alkuperäistä ongelmaa.
Piin loputtomuus ei sinänsä kerro vielä mitään, koska myös esimerkiksi luku 1,11111... on loputon, vaikka siinä on pelkkää ykköstä.
Pii vaikuttaa olevan siinä mielessä satunnainen, että eri numeroja esiintyy sen alkuosassa tasaisesti sekalaisessa järjestyksessä. Tuntuisi uskottavalta, että mikä tahansa numerosarja esiintyy piissä, kunhan mennään tarpeeksi pitkälle. Kukaan ei ole kuitenkaan pystynyt todistamaan tätä.
Antti Laaksonen kirjoitti:
Piin loputtomuus ei sinänsä kerro vielä mitään, koska myös esimerkiksi luku 1,11111... on loputon, vaikka siinä on pelkkää ykköstä.
Varmaan olennainen sana sen loputtomuuden lisäksi on toistumattomuus.
Tai voisi sanoa että irrationaaliluku vs muut reaaliluvut.
Toisaalta esimerkiksi luku 0,1001100011100001111... on toistumaton (desimaalit eivät ala koskaan alusta), mutta silti sen osana on vain pieni määrä kaikista mahdollisista numerosarjoista.
Äärettömän mittaisten jonojen arpomisessa joutuu helposti (käytännöllisten ongelmien lisäksi) matemaattisiin hankaluuksiin. Kuten Metabolix jo mainitsi, pelkkiä ykkösiä sisältävän äärellisen jonon ilmenemisen todennäköisyys lähestyy nollaa, kun jonon pituus lähestyy ääretöntä. Onko jokin muu jono sitten "todennäköisempi"? Valitettavasti ei, vaan mille tahansa äärettömälle jonolle pätee, että jonon n ensimmäisen termin ilmenemistodennäköisyys satunnaisen jonon alussa lähestyy nollaa. Voisi siis päätellä, että "minkä tahansa äärettömän jonon esiintymistodennäköisyys on nolla". Vastaavasti jos arvotaan tasajakaumasta reaaliluku väliltä [0,1], niin jokaisen yksittäisen luvun ilmenemistodennäköisyys on nolla. Kummassakaan tapauksessa "mielekkäiden" tapahtumien, kuten "luku välillä [0.5,1]" tai "lukujonossa esiintyy ohjelman X binäärikoodi" ei voi laskea kaikkia näitä ehtoja toteuttavien satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyyksien summana.
Todennäköisyysteorian mielessä luvussa pii ei edes varsinaisesti ole mitään satunnaista. Sen desimaalit (tai bitit) muodostavat hyvin määritellyn lukujonon, josta joko löytyy jonkin äärellinen jono tai ei. Toisaalta esim. kaiken olemassa olevan digitaalisen tiedon tai kaikki äärelliset lukujonot binääri/desimaalikehitelmässä sisältäviä reaalilukuja kyllä on olemassa. Itse asiassa äärettömän (ylinumeroituvan) paljon ja sellaisen "löytämisen" todennäköisyys satunnaisesti väliltä [0,1] poikkeaa nollasta. Eräs on irrationaaliluku, jonka binäärikehitelmä on 0.0100011011000001010011100101110111... (yhdistetty lukujonosta 0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,
Metabolix kirjoitti:
Todennäköisyys pelkkien ykkösten esiintymiseen pienenee jatkuvasti, ja sen raja-arvo äärettömän monella arvonnalla on nolla,
Oikein tähän asti, joskin korrektimpi ilmaus olisi öraja-arvo, kun arvontojen määrä kasvaa rajattaö tms.
lainaus:
eli äärettömästi arvottaessa se toinenkin vaihtoehto äärimmäisen todennäköisesti joskus toteutuu.
Non sequitur eli väärä päätelmä. Jos tarkastelemme äärettömiä toistokokeita, kuten käsitteellisesti voi tehdä, ja määrittelemme todennäköisyydet raja-arvoilla, niin tapahtuman öäärettömässä sarjassa tulee pelkkiä ykkösiäö todennäköisyys on kyllä nolla, mutta se ei ole mahdoton. Tätä voi verrata siihen, että heitetään äärettömän terävää tikkaa pyöreään tikkatauluun. Todennäköisyys, että tikka osuu matemaattiseen keskipisteeseen (kun sekä tikka että keskipiste ovat matemaattisia pisteitä, joilla ei ole mitään ulottuvuutta, vain paikka) on nolla. Mutta sama koskee tikan osumista mihin tahansa tiettyyn pisteeseen. Jokainen tapahtuma on tietenkin täysin mahdollinen, ja tikka osuu aina _johonkin_ pisteeseen_, mutta tapahtuman todennäköisyys on nolla.
En tiedä, mitä tällä keskustelulla on tekemistä ohjelmoinnin kanssa. Ohjelmoinnissahan ei yleensä operoida äärettömyydellä eikä oikeastaan edes jatkuvilla suureilla – ohjelmointikielten öreaalilukuö vastaa äärellistä rationaalilukujen joukkoa, eikä aritmetiikkakaan ole normaalia reaalilukujen aritmetiikkaa, koska esimerkiksi a*b ei ole a:n ja b:n matemaattinen tulo vaan sitä lähinnä oleva koneen äärellisen lukujoukon luku.
lainaus:
Tietokoneella asia on hieman toinen, koska tietokoneohjelmissa usein käytetään jonkinlaista pseudosatunnaisuutta, joka perustuu riittävän satunnaiselta näyttävään kaavaan.
Sillä seikalla, että ns. satunnaislukugeneraattori on yleensä algoritminen ja vieläpä jaksollinen (jossain vaiheessa generaattori rupeaa toistamaan itseään eli tuottamaan saman sarjan uudestaan), voi olla paljonkin merkitystä, mutta yleensä se on ihan riittävän hyvä satunnaisuuden simulointi. En kuitenkaan näe tällä mitään yhtymäkohtaa siihen, mitä keskustelu koskee. Tosin siitä taitaa periaatteessa seurata, että todennäköisyys saada pelkkiä ykkösiä ei lähestykään rajatta nollaa (vaikka menee todennäköisesti [no pun intended] erittäin pieneksi, alle kone-epsilonin).
punppis kirjoitti:
Väiteltiin tässä kavereiden kanssa sellaisesta asiasta, että jos äärettömästi tulostetaan 50/50 mahdollisuudella 1 tai 0, niin tuleeko sieltä väkisin joskus molemmat luvut, vai voiko toinen luku jatkua äärettömiin.
Kuten ketjussa on todettu, niin sarjan pituuden lähestyessä ääretöntä sen todennäköisyys lähestyy nollaa. Tämä ei kuitenkaan tarkoita sitä, että ykkösarjan jatkeeksi olisi pakko tulla jossain vaiheessa nolla. Se voi jatkua ykkösinä ihan maailman tappiin saakka. Eri asia on sitten kysymys voiko mikään tarkasteltava sarja olla ääretön. Mahdollisesti jokin perushiukkasen tila ajan funktiona voisi olla tälläinen, mutta tarkastalu äärettömyyden tasolla muuten kuin asymptoottisen raja-arvon selvittämiseksi ei ole mielekästä. Asymptoottisella raja-arvolla tarkoitetaan nimenomaan arvoa, jota lähestytään, mutta jota ei koskaan saavuteta. Se siis kertoo ainoastaan, että mitä pidemmälle sarja etenee, niin sitä todennäköisemmin sarjassa esiintyy molemmat numerot. Täydellistä varmuutta ei koskaan saavuteta.
punppis kirjoitti:
Kaikki lähti siitä, että yhden kaverin mielestä PII:n loputtomuuden takia sen sisältäisi kaikkien maailman ohjelmien lähdekoodit binäärinä (ja samalla tietysti kaikki mahdolliset lukujonot). Koska PII ei ole mielestäni satunnainen, niin näin ei tapahdu välttämättä, vaan siihen on pieni mahdollisuus.
On erittäin epätodennäköistä että se sisältäisi kovinkaan monen ohjelman lähdekoodia, vaikka kikkailtaisiin merkistökoodauksella, ohjelmointikielillä ja operaatiokoodeilla. Perustelu piin loputtomuudella on väärin. Vaikka pii:n likiarvosta ei olekaan jaksollisuutta löydetty, ei se tarkoita etteikö sellaista sieltä löytyisi. Vaikka se olisikin ei-jaksollinen maailmasta loppuu todennäköisesti atomit jo paljon ennemmin kuin pii:n likiarvosta löytyisi sopivat sarjat. Jos meiltä loppuu atomit kesken sen esittämiseen, sitä ei voi olla olemassa. Jos sitä ei voi olla olemassa, ei se voi sisältää koodiakaan.
Maailmankaikkeus on äärellinen paikka, joka nykyteorian mukaan koostuu perushiukkasista. Tähän teoriaan pohjautuen myös Jukan esittämä tilanne äärettömän terävästä tikasta on mahdoton ja sitä kautta myös äärettömän monen osumapisteen tilanne on mahdoton. Osumapisteiden joukko on äärellinen ja todennäköisyys riippuu hyvin vahvasti siitä, millä tarkkuudella haluamme osumapisteen esittää. Näin perus mökkitikan heittelijälle yleensä riittää 1-10 kehiin osuminen. :)
Hyi, fyysikko :D
Torgo kirjoitti:
Asymptoottisella raja-arvolla tarkoitetaan nimenomaan arvoa, jota lähestytään, mutta jota ei koskaan saavuteta.
Raja-arvo voidaan hyvin saavuttaa. Esimerkiksi lim 0 = 0, varsin triviaalisti mutta varmasti. Tai ajatellaan vaikka vaimenevaa aaltoa kuten exp(-x)×sin(x): sen raja-arvo, kun x kasvaa rajatta, on nolla, ja lisäksi funktio käy tuossa raja-arvossa äärettömän monta kertaa. Tosin vain numeroituvasti äärettömän monta. :-)
Torgo kirjoitti:
Vaikka pii:n likiarvosta ei olekaan jaksollisuutta löydetty, ei se tarkoita etteikö sellaista sieltä löytyisi.
Tarkkaan ottaen ei tarkoita, mutta se kyllä tiedetään muilla perusteilla, että sieltä ei löydy jaksollisuutta eli että pii on irrationaalinen. Todistus ei ole ihan triviaali, mutta asia on todistettu sitovasti. Ks.
http://solmu.math.helsinki.fi/2001/2/lehtinen/
Grez kirjoitti:
Antti Laaksonen kirjoitti:
Piin loputtomuus- -
Varmaan olennainen sana sen loputtomuuden lisäksi on toistumattomuus.
Onko joku todistanut että pii ei ala jostain kohtaan toistumaan?
tkok kirjoitti:
Onko joku todistanut että pii ei ala jostain kohtaan toistumaan?
Kyllä, katso tuo Yuccan linkki. Jokainen luku joka alkaa toistumaan on rationaalinen, ja linkissä näytetään että pii ei tällainen ole.
tkok kirjoitti:
Onko joku todistanut että pii ei ala jostain kohtaan toistumaan?
Todistetaan jo lukiossa.
Pekka Mansikka kirjoitti:
mutta suunniilleen luku, jonka perässä on 100 nollaa. :)
Ykkönen, jonka perässä on 100 nollaa on nimeltänsä googol, josta Googlekin saa nimensä. Muuhun asiaan en ota kantaa omalla matikannumerollani (6).
Tuossa Pekka Mansikan viestissä oli varmaankin kyse luvusta, jossa desimaalipilkun jälkeen oli ne 100 nollaa.
Petja kirjoitti:
en ota kantaa omalla matikannumerollani (6).
0,999... = 1!
Aihe on jo aika vanha, joten et voi enää vastata siihen.