Keskustelu: Yleinen keskustelu: Ilmanvastus

Tämä ei ole koulutehtävä, mutta minun tekisi mieli laskea kappaleen nopeus, kun se iskeytyy 12 metristä alas ottaen huomioon ilmanvastus. Tehtävä olisi helppo, jos ilmanvastusta ei otettaisi huomioon:

E_k - E_p = 0
1 / 2 * m * v^2 - m * g * h = 0
...
v = sqrt(2 * g * h) = sqrt(2 * 9.807 m / s^2 * 12 m) ~= 15 m / s

Totuus ei kuitenkaan ole tämä. Miten ilmanvastus otetaan laskuihin mukaan?

Minkämuotoinen kappale on kyseessä? Ilmanvastuksen laskeminen hoidetaan kaavalla:

F_i = 1/2 * C_w * A * rhoo * v²

Kaavassa
F_i = ilmanvastusvoima
C_w = muotokerroin (pallolle noin 0,34)
A = otsapinta-ala
rhoo = ilman tiheys (noin 1,19)
v = nopeus

Kannattaa huomata, että ilmanvastusvoimaan vaikuttaa nopeus, jota taas vastusvoima pienentää. Hidastuvuus ei ole siis vakio, vaan on voimakkaasti riippuvainen nopeudesta.

http://fi.wikipedia.org/wiki/Ilmanvastus

Kappale ei ole minkään tietyn muotoinen, sillä ymmärrän muotokertoimen periaatteen. Tuon kaavan avulla saan laskettua ilmanvastuksesta johtuvan voiman, mutta mitä sitten? Kuinka ratkominen jatkuu?

En ole kovin kummoinen fyysikko. Lukiossa kävin muutaman kurssin, mutta en koskaan kirjoittanut sitä heikon ymmärryksen vuoksi. Pieniä rippeitä kuitenkin tarttui matkaan.

Ai niin, milloin rajanopeus tulee vastaan? Jos olen ymmärtänyt oikein, kappale ei tämän rajan saavutettuaan kasvata putoamisnopeuttaan. Menikö metsään?

Hidastuvuus on käänteistä kiihtyvyyttä, joten F = m * a <=> a = F / m

burton kirjoitti:

Ai niin, milloin rajanopeus tulee vastaan? Jos olen ymmärtänyt oikein, kappale ei tämän rajan saavutettuaan kasvata putoamisnopeuttaan. Menikö metsään?

Rajanopeus on riippuvainen kappaleen muodosta ja ilman tiheydestä, joten tarkkaa arvoa ei oikein voi antaa. Karkeaksi ylärajaksi voit olettaa noin 300 km/h, mutta sopivan muotoinen kappale voi saavuttaa huomattavastikin suuremman nopeuden.

Eli jos otetaan positiiviseksi suunnaksi se, jossa maa odottaa kappaletta, niin meneekö laskenta näin:

F_G - F_i = m * a
m * g - 1 / 2 * C_w * A * rhoo * v^2 = m * a
a = g - (C_w * A * rhoo * v^2) / m


Kyllä tuo minusta ihan oikein tuntuisi olevan paperilla tutkittuna. Yksiköt ainakin menevät oikein. Kannattaa tietysti muistaa, että tuo kaava antaa kiihtyvyyden vain tuolle kyseiselle kappaleelle kyseisellä nopeudella.

Jep, mutta tarkoitus olisi saada nopeus juuri ennen osumista maahan. En oikein käsitä.

Teuro kirjoitti:

Kannattaa tietysti muistaa, että tuo kaava antaa kiihtyvyyden vain tuolle kyseiselle kappaleelle kyseisellä nopeudella.

Mikä taas tarkoittaa, että ilmanvastuksen kaavassa oleva v on eri kuin se v, joka on tarkoitus saada tulokseksi. Nuo laskut menevät siis pieleen.

Ilmanvastus on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Ilmanvastuksen aiheuttama hidastuvuus samaten. Jos haluat selvittää nopeuden ennen osumista maahan, pitää ensin selvittää matka tai aika, jotta tiedät mihin saakka nopeus ehtii kiihtyä.

a = d²x / d²t (eli kiihtyvyys on matkan toinen derivaatta / ajan toinen derivaatta)

Ylemmän viestin kaava sopii tuohon.

a = g - (C_w * A * rhoo * v²) / m
d²x / d²t = g - (C_w * A * rhoo * (dx/dt)²) / m
d²x / d²t = g/m - (C_w * A * rhoo / m) * (dx/dt)²

Kaikki paitsi x ja t ovat vakioita. Toiselle puolelle x:n ja toiselle t:n sisältämät termit (ja jommallekummalle vakiot) ja sitten voitkin integroida ja katsoa saatko mitään jännää tulokseksi.

Edit: Taitaa olla jopa niin, että kun pari kertaa integroi voi sijoittaa putoamismatkan, pudottamiskorkeushan pitäisi tietää. Silloin ylläolevaa kaavaa ei tarvitse ryhtyä ratkaisemaan numeerisesti.

Millä tavalla ilmanvastuksen kaavassa oleva nopeus on eri asia? Ei ole tarkoitettu piruiluksi, vaan mielenkiinnosta kysyn. Tai kysytään eri tavalla, miten ongelmaa kannattaa lähestyä, koska minun ajatteluni ei riitä ajattelemaan asiaa nyt ollenkaan oikein?

Teuro kirjoitti:

Millä tavalla ilmanvastuksen kaavassa oleva nopeus on eri asia? Ei ole tarkoitettu piruiluksi, vaan mielenkiinnosta kysyn. Tai kysytään eri tavalla, miten ongelmaa kannattaa lähestyä, koska minun ajatteluni ei riitä ajattelemaan asiaa nyt ollenkaan oikein?

Liike on kiihtyvää, joten nopeus muuttuu joka hetki. Koska nopeus muuttuu joka hetki, ilmanvastus muuttuu joka hetki. Siten myös kiihtyvyys muuttuu joka hetki. Silloin nopeus muuttuu joka hetki eri määrän.

Teuro kirjoitti:

Millä tavalla ilmanvastuksen kaavassa oleva nopeus on eri asia?

Siinä on nopeus kullakin ajanhetkellä eli funktio v(t). Vastaukseksi halutaan nopeus lopussa eli v(t1), missä t1 on ajanhetki, jona kappale osuu maahan.

Eli muuttuja v yritetään laskea itsensä avulla, joka johtaa kehäpäätelmään.

Ilmanvastus ei ole verrannollinen nopeuden neliöön kuin vasta riittävän suurilla nopeuksilla. Aluksi se on verrannollinen suoraan nopeuteen ja muuttuu vähitellen varrannolliseksi neliöön virtauksen muuttuessa pyörteiseksi. Tarkkaa kaavaa ei olekkaan vaan tehtävä on mahdollista laskea numeerisesti ja edellyttää ilmanvastuksen tarkkaa tuntemista nopeudesta riippuen.

x'' + f(x') - g = 0,

missä esim. f(v) = C v² on (epälineaarinen) differentiaaliyhtälö, jolla kyllä on ratkaisuja mutta ne eivät löydy suoraan integroimalla eivätkä yleisesti suljetussa muodossa - varsinkaan, jos x on vektorisuure.

EDIT: kuten setä jo sanoi, tuo f:n muoto ei ole mikään fundamentaali kaava, kuten F = m a, vaan tietyissä olosuhteissa pätevä approksimaatio. Monimutkaisen eksaktin ratkaisufunktion "kaavan" etsiminen ei siis ole mielekästä, vaan tehtävä kannattaa ratkaista numeerisesti

Meniskös tämä helpoiten silti mekaniikan energiaperiaateen mukaan eli Ea - El = W, jolloin Ep - Ek = -Fis, jossa s eli siirtymä on korkeus. Sitten tähän sijoittaa Fi:n tilalle tuon aikaisemmin mainitun ilmanvastuksen kaavan, ja Ep ja Ek ovat samalla tavalla kuin laskuissasi. Lopuksi ratkaisee tästä yhtälöstä sitten v:n.
Korjatkaa jos töpelsin!

petrinm kirjoitti:

Meniskös tämä helpoiten silti mekaniikan energiaperiaateen mukaan eli Ea - El = W, jolloin Ep - Ek = -Fis, jossa s eli siirtymä on korkeus. Sitten tähän sijoittaa Fi:n tilalle tuon aikaisemmin mainitun ilmanvastuksen kaavan, ja Ep ja Ek ovat samalla tavalla kuin laskuissasi. Lopuksi ratkaisee tästä yhtälöstä sitten v:n.
Korjatkaa jos töpelsin!

Työ on vakio, voima ei. Pitäisi olla funktio jota voitaisiin integroida.

ville-v kirjoitti:

petrinm kirjoitti:

Meniskös tämä helpoiten silti mekaniikan energiaperiaateen mukaan eli Ea - El = W, jolloin Ep - Ek = -Fis, jossa s eli siirtymä on korkeus. Sitten tähän sijoittaa Fi:n tilalle tuon aikaisemmin mainitun ilmanvastuksen kaavan, ja Ep ja Ek ovat samalla tavalla kuin laskuissasi. Lopuksi ratkaisee tästä yhtälöstä sitten v:n.
Korjatkaa jos töpelsin!

Työ on vakio, voima ei. Pitäisi olla funktio jota voitaisiin integroida.

Painovoiman tekemä työ on toki vakio, mutta mikään noista kaavoista ei päde, koska ilmanvastuksen kaltaisten vastusvoimien tapauksessa mekaaninen energia ei säily.

Jos integroitavaa funktiota kaipaa, niin tästä lähtee (yksiulotteinen tapaus):
x' = f(x), missä x = (x,x'), x' = (x',x'') ja esim. f(x) = (x' , -g - C |x'| x')

Paikka x ja nopeus x' ajanhetkellä t ovat:
(x, x')(t) = x(t) = x(0) + ∫₀^t f(x(s)) ds.

Kuten sanottu, tämä ei juuri käytännössä helpota ongelman ratkaisua.