Keskustelu: Yleinen keskustelu: Summakaavan todistus

Monelle lienee tuttu seuraava summakaava:

1 + 2 + 3 + ... + n = n * (n + 1) / 2

Esimerkiksi 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 4 * 5 / 2.

Tämä kaava voidaan todistaa havainnollisesti asettamalla päällekkäin summa alkuperäisessä järjestyksessä ja käännetyssä järjestyksessä:

1 + 2 + 3 + ... + n
n + n-1 + n-2 + ... + 1

Joka kohdassa päällekkäisten lukujen summa on n + 1, ja lukupareja on yhteensä n kappaletta. Siis haluttu summa kaksinkertaisena on n * (n + 1), mistä saadaan lopullinen kaava n * (n + 1) / 2.

Samantapainen kaava on olemassa myös lukujen neliöille:

1² + 2² + 3² ... + n² = n * (n + 1) * (2n + 1) / 6

Esimerkiksi 1² + 2² + 3² + 4² = 30 = 4 * 5 * 9 / 6.

Pystyttekö keksimään tällekin kaavalle jonkinlaisen havainnollisen todistuksen, josta ilmenee selkeästi, mistä kaavan muoto johtuu? Todistuksen tulisi olla sellainen, että peruskoululainen voi sen ymmärtää.

Mistä löytyisi tuon kaavan todistus sellaisena, että matematiikkaa yliopistolla lukenut ymmärtää sen? Sitten kun ymmärtää sen, niin sen pohjalta voisi miettiä todistuksen havainnollistamista.

Niin. Tuon kaavan johtamisen näkeminen voisi auttaa, hetken sitä koitin katsella, mutta ei löytynny nopeasti googlettamalla. Kai sen kumminkin joku on joskus jotenkin johtanut. Pelkän todistuksen näkemisestähän ei välttämättä paljoa hyötyä ole, sillä tuon voinee todistaa oikeaksi myös induktiolla. Se ei taas välttämättä auta hahmottamaan, miten kaava johdetaan.

Hieman tuota koitin pohtia, mutta ei mitään järkevää tullut aikaiseksi. Jotain helppoa ja yksinkertaista koitin miettiä, mutta ei kauheasti käyttökelpoisia ajatuksia syntynyt. Lisää voisi pohtia.

Yleensä olen nähnyt kaavan todistettavan induktiolla:

Tapaus n = 1:

1² = 1 * 2 * 3 / 6

Tapaus n = k+1:

Oletus: 1² + ... + k² = k * (k + 1) * (2k + 1) / 6

1² + ... + (k+1)² = k * (k + 1) * (2k + 1) / 6 + (k+1)² = ... = (k+1) * (k+1 + 1) * (2(k+1) + 1) / 6

Toinen todistus perustuu seuraavan yhtälön pyörittelyyn:

(n + 1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1

Kuitenkaan nämä todistukset eivät selvennä (ainakaan minulle) kaavan osia. Miksi kerrotaan toisillaan n, n + 1 ja 2n + 1, ja miksi jaetaan kuudella?

Olkoot K(n) := ½n(n+1) n:s kolmioluku ja SK(n) K(n):ien summa välillä 1..n.

Nyt SK(n):n voi kirjoittaa auki muotoon:

1
1+2
1+2+3
...
1+2+3 ... n

Jos tämän rivien järjestyksen vaihtaa käänteiseksi ja sen summaa itsensä kanssa niin, että olettaa alussa olevan tyhjän rivin, saa 2SK(n):n muotoon:

1+2+3 ... n
1 + 1+2+3 ... n-1
...
1+2+3 ... n-1 + 1
1+2+3 ... n

Tämän puolestaan voi täydentää n+1:ksi peräkkäiseksi K(n):n aukikirjoitetuksi summaksi, jos siihen lisää SK(n-1):n. Kirjoita summa paperille, niin näet helposti miten SK(n-1):n termit tulee järjestää. Nyt SK(n-1) = SK(n) - K(n), joten:

3SK(n) - K(n) = (n+1)K(n)

Tästä seuraa, että SK(n) = (n+2)K(n)/3 = n(n+1)(n+2)/6 .

Toisaalta tarkastelemalla alkuperäistä SK(n):n esitystä havaitaan, että sen voi täydentää muotoon (n+1)K(n) lisäämällä sen alkuun yhden rivin, jossa on koko summa K(n) ja täydentämällä muiden rivin loput samanmuotoisiksi.

Tällöin siihen lisätään yksi kertaa 1, kaksi kertaa 2, kolme kertaa 3 ja yleisesti n kertaa n jokaisella n. Tämä on kaivattu neliöiden summa.

Siispä ratkaisu on (n+1)K(n) - SK(n) .

Tämän menettelyn voi yleistää summakaavan todistukseen, jolla saa laskettua kaikki positiivisten kokonaislukupotenssien (k, k >= 1) summat. Jokainen näistä on astetta k+1 oleva polynomi, jolle pätee mm. p(0) = 0 ja p(1) = 1. Tämä ongelma on ratkaisu mm. Jakob Bernoullin Summae Potestatum -nimisessä teoksessa vuodelta 1713 ja menettelyä ennakoidaan jo tuhat vuotta sitten arabien matematiikassa (Ibn al Haytham, tunnetaan myös nimellä Alhazen).

Bernoullin luvut liittyvät näihin summat antaviin polynomeihin hyvin läheisesti.

http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers­#Different_viewpoints_and_conventions

Tuon kaavan voi tietenkin hajoittaa kahteen osaan, jolloin tulee yhtälöt:

(n(n + 1)) / 2
ja
(2(n + 1)) / 3

seuraa

(n(n + 1)) / 2 * (2(n + 1)) / 3n => (n(n + 1)) * (2(n + 1)) / 6

ensimmäinen koodi on selkeä normaali jono ja toinen neliöjonon tuoma lisäys summaan. Yhtälöt kerrotaan toisillaan aivan normaalin tavan mukaan, jolloin summan arvo kasvaa normaaliin jonoon nähden 2n+1/3 kertaiseksi. Jotenkin tuo tuntuu integroimisen jälkeiseltä kaavalta. Paremmin tietävät voivat kumota tämän idean pystyyn, mutta itselle aukesi näin tämä kaava.

En ikävä kyllä osaa tuota kääntää kansantajuiseen muotoon, enkä sen koommin johtaakaan tuota alkuperäisestä jonosta.

Kiitos selvennyksistä, Y! Esittämäsi todistus on havainnollisin tähän asti näkemistäni.

Tässä taitaa olla havainnollinen perustelu, mutta en kyllä heti näe mistä kaava tulee. Ehkä olette oivaltavampia kuin minä. http://www.artofproblemsolving.com/Images/Flash/Side7.swf

Tuopas onkin hieno todistus! Tuossa suorakulmion sisään saadaan haluttu summa kolminkertaisena. Suorakulmion korkeus on 2n + 1 ja leveys on n * (n + 1) / 2, koska oikeasta reunasta lähtien erikokoisten pystypalkkien määrä kasvaa aina yhdellä.

Tein vielä esimerkin neliöiden sijoittelusta tapauksessa n = 6:

https://www.ohjelmointiputka.net/kuvat/neliot.png