Täällä on aiheesta vanha keskustelu, johon tuon uuden näkökulman. Sumeassa matematiikassa 10 voi olla jotain vaikka 5-15 välillä. eniten kymmenen kuitenkin itse 10. JVM
Joo. Perusteluja?
9,999... on yhtä paljon 10 kuin itse 10.
En löytänyt Netistä lyhyttä ja nasevaa tekstiä sumeista luvuista. ilmeisesti, koska asia ei ole lyhyt ja naseva. Aikoinaan opiskelin sumean logiikan kahdesta oppikirjasta:
Jorma K. Mattila, Sumean Logiikan oppikirja,
Antti Niemi, Johdatus Sumeisiin Joukkoihin ja Sumeaan Logiikkaan.
Uudempiakin varmaan löytyy. Näiden pohjalta on syntynyt kotisivullani oleva C-kielinen harjoitelma sumeasta kesämökin lämpötilan säätäjästä. JVM
Kiitoksia wiki linkistä, Murtolukutodistus selvensi koko näkemykseni asiasta :) 0.9999 = 1
User137 kirjoitti:
Kiitoksia wiki linkistä, Murtolukutodistus selvensi koko näkemykseni asiasta :) 0.9999 = 1
Puututaan nyt tähänkin. 0.9999 on täsmälleen 0.9999, mutta 0.9999... on yksi.
Sumea matematiikka ja logiikka ei näköjään tarttunut. JVM
jormi kirjoitti:
Sumea matematiikka ja logiikka ei näköjään tarttunut.
Liian sumeaa. Ei voi käsittää.
Suosittelen Bart Koskon teosta Sumea logiikka jos aihe kiinnostaa. Sain kirjasta käsityklsen että logiikka on kuvaus luonnosta matematiikkaan, luonnon yksinkertaistettu malli. Sumea logiikka on taas kuvaus matematiikasta luontoon. Eli kun luonnon ilmiöitä sovelletaan matemaattisiksi malleiksi, käytetään logiikkaa. Mutta kun matemaattista mallia sovelletaan käytännön sovellukseksim käytetään sumeaa logiikkaa.
jormi kirjoitti:
Sumean Logiikan oppikirja
Onks tää sen suomalaisen mobiilifirman logiikkaa?
Nyt kuulostaa vähän siltä, että kellään ei oikein tunnu olevan varsinaista tietoa sumeasta logiikasta, mutta kumminkin käsitys, että "kyllä se jotain epämääräistä ja epätarkkaa on". Jormin alussa esittämä väite vielä lisää mystiikkaa aiheen ympärillä.
Sumeassa logiikassa itsessään ei ole mitään epämääräistä tai epätarkkaa. Idea on se, että sen sijaan että väitteen "a kuuluu joukkoon A" totuusarvo olisi joko 0 tai 1, se voikin olla reaaliluku väliltä [0, 1]. Voidaan siis ikään kuin kertoa, kuinka paljon "a kuuluu joukoon A".
Totuusarvo sinänsä on ihan tarkka luku, samoin kaikki sovellettavat laskusäännöt ja niiden tulokset.
Homma toimii oikein mainiosti mallinnettaessa tosielämän ilmiöitä, varsinkin säätötekniikkaan sovellettuna. Mutta ei se sumeus kyllä joka paikkaan istu. Minusta on niin, että "9,99...=10" on ihan vaan matemaattinen fakta ja ongelma on ihmisen vaikeudessa sulatella äärettömyyttä; ei siinä mitään sumeutta ole.
Minusta ei yksinkertaisesti ole totta, että "sumeassa matematiikassa 10 voi olla jotain vaikka 5-15 välillä." Siis väitteen totuusarvo=0 niin sumean kuin diskreetinkin logiikan mukaan :-). Ei pidä sotkea matemaattista lukuarvoa ja esimerkiksi mittausarvoa tai luvun approksimaatiota toisiinsa.
koo kirjoitti:
Minusta on niin, että "9,99...=10" on ihan vaan matemaattinen fakta ja ongelma on ihmisen vaikeudessa sulatella äärettömyyttä; ei siinä mitään sumeutta ole.
Minä en taas sulata tätä väitettä.
Otetaampa tarkasteluun sellainen mielenkiintoinen funktio kuin f(x)=sin(x)/x. Funktion raja-arvo, kun x->0, on 1. Mutta funktion arvo ei siltikään siis ikinä ole tasa yksi, mutta se lähestyy armotta lukua 1, kun x->0.
Funktion f(x) arvo nollassa on puolestaan määrittelemätön. Jos sanon että äärettömän pieni positiivinen luku on yhtäsuuri kuin 0, tämänkin funktion tulisi tuottaa sama arvo kummassakin tapauksessa.
Eli:
lim(n->0)f(n) = 1
f(0) = Ei määritelty
f(0) != lim(n->0)f(n)
Saman voisi osoittaa myös paloittain määritellyssä funktiossa.
Janezki kirjoitti:
Funktion f(x) arvo nollassa on puolestaan määrittelemätön. Jos sanon että äärettömän pieni positiivinen luku on yhtäsuuri kuin 0, tämänkin funktion tulisi tuottaa sama arvo kummassakin tapauksessa.
Onko raja-arvo lim(n->0)f(n) siis mielestäsi sama kuin funktion f(n) arvo n:n ollessa äärettömän pieni, vai käsitinkö väärin, mitä hait takaa? Tietääkseni raja-arvon määritelmä sanoo olennaisesti vain, että funktion arvo saadaan mielivaltaisen lähelle raja-arvoa, kun n voidaan valita vapaasti, ei että raja-arvo olisi funktion todellinen arvo n:n ollessa äärettömän lähellä jotain lukua. Määritelmän yksityiskohtia en tunne, ja voin olla kyllä täysin väärässäkin.
Myönnän, että väitteeni on epätarkka, kun ongelma taitaa johtua vähintään myös käytetystä lukujärjestelmästä ja lukujen merkintätavasta äärettömyyden lisäksi.
Mutta, kysymyksessä ei edelleenkään ole mitään sumeutta ja "9,99...=10" (tai yleensä "0,999...=1") voidaan todistaa useammallakin tavalla, joten kai sitä voi edelleenkin pitää faktana.
Epäjatkuvan funktion raja-arvo ei oikeasti taida liittyä tähän.
hunajavohveli kirjoitti:
Onko raja-arvo lim(n->0)f(n) siis mielestäsi sama kuin funktion f(n) arvo n:n ollessa äärettömän pieni, vai käsitinkö väärin, mitä hait takaa? Tietääkseni raja-arvon määritelmä sanoo olennaisesti vain, että funktion arvo saadaan mielivaltaisen lähelle raja-arvoa, kun n voidaan valita vapaasti, ei että raja-arvo olisi funktion todellinen arvo n:n ollessa äärettömän lähellä jotain lukua. Määritelmän yksityiskohtia en tunne, ja voin olla kyllä täysin väärässäkin.
lim(n->0)f(n) on nimenomaan f(n) kun n on äärettömän pieni. Tässä tapauksessa f(n) != 1 kaikkialla n, mutta f(n) lähestyy ykköstä kun n:n arvot pienenvät rajatta (Lähestyvät nollaa). Mutta nollassa funktion ei ole määritelty, tai se on ääretön. Pointtini oli että kyseinen funktio saa kahdella infinidesimaalisen lähellä olevilla arvoilla kuitenkin eri tuloksen. koon väite pitää kyllä numeerisesti ja käytönnön tasolla paikkaansa, mutta sitä ei voida soveltaa algebrallisesti. Siksi tartuin asiaan niin hanakasti kun koo väitti tätä matemaattiseksi faktaksi.
Epäjatkuvan funktion raja-arvo ei oikeasti taida liittyä tähän.
"9,99...=10" (tai yleensä "0,999...=1") voidaan todistaa useammallakin tavalla, joten kai sitä voi edelleenkin pitää faktana.
Näin se keskustelu etenee. :-)
Janezki kirjoitti:
lim(n->0)f(n) on nimenomaan f(n) kun n on äärettömän pieni. Tässä tapauksessa f(n) != 1 kaikkialla n, mutta f(n) lähestyy ykköstä kun n:n arvot pienenvät rajatta (Lähestyvät nollaa).
Funktion raja-arvo pisteessä x ja sen arvo pisteessä x ovat kaksi aivan eri asiaa. Voidaan hyvin määritellä vaikka koko reaalilukujoukossa funktio
f(x) = sin(x)/x, kun x != 0
f(x) = 5 , kun x = 0
jonka raja-arvo origossa on (kuten Janezki tiesi) 1, mutta arvo on 5. Kuten koo jo useampaan kertaan sanoi, tällä (funktioiden raja-arvoilla) ei ole mitään tekemistä luvun 0,9999... kanssa.
Janezki kirjoitti:
koon väite pitää kyllä numeerisesti ja käytönnön tasolla paikkaansa, mutta sitä ei voida soveltaa algebrallisesti. Siksi tartuin asiaan niin hanakasti kun koo väitti tätä matemaattiseksi faktaksi.
Myöskään numeriikka ei liity tähän millään tavalla. Väite "0.999... = 1" on yksinkertaisesti matemaattinen fakta, mikä johtuu siitä, että päättymätöntä desimaalikehitelmää vastaava reaaliluku on määritelty vastaavan sarjan summan ( tässä tapauksessa { 0, 0+0.9, 0+0.9+0.09, 0+0.9+0.09+0.009 ... } ) raja-arvoksi, joka tässä tapauksessa on 1.
Jos joku keksii desimaalikehitelmälle ja sitä vastaavalle reaaliluvulle jonkin muun järkevän tulkinnan, niin itse ainakin olisin kiinnostunut sen kuulemaan.
Pohjimmiltaan on kyse siitä, että onko [ lim_(x->ääretön) 1/x ] nolla vai "äärettömän lähellä" nollaa. Mikäli se määriteltäisiin joksikin muuksi kuin nollaksi, siitä seuraisi ristiriitoja sitten jatkossa.
hunajavohveli kirjoitti:
Tietääkseni raja-arvon määritelmä sanoo olennaisesti vain, että funktion arvo saadaan mielivaltaisen lähelle raja-arvoa, kun n voidaan valita vapaasti, ei että raja-arvo olisi funktion todellinen arvo n:n ollessa äärettömän lähellä jotain lukua. Määritelmän yksityiskohtia en tunne, ja voin olla kyllä täysin väärässäkin.
Et ole väärässä.
lim f(x)_(x->ääretön)=a, jos jokaiselle mollaa suuremmalle luvulle, epsilon, on olemassa niin suuri luku, M, että
|f(x)-a| < epsilon aina kun x > M.
talmiid kirjoitti:
hunajavohveli kirjoitti:
Tietääkseni raja-arvon määritelmä sanoo olennaisesti vain, että funktion arvo saadaan mielivaltaisen lähelle raja-arvoa, kun n voidaan valita vapaasti, ei että raja-arvo olisi funktion todellinen arvo n:n ollessa äärettömän lähellä jotain lukua. Määritelmän yksityiskohtia en tunne, ja voin olla kyllä täysin väärässäkin.
Et ole väärässä.
lim f(x)_(x->ääretön)=a, jos jokaiselle mollaa suuremmalle luvulle, epsilon, on olemassa niin suuri luku, M, että
|f(x)-a| < epsilon aina kun x > M.
Kyllä tuossa Hunajavohveli on väärässä. Mikä on n? Jos kirjoitat lim(n->0)f(n), niin eihän suinkaan aina päde n=10, eli n ei voi olla mielivaltainen. Talmiid kirjoitti funktion raja-arvon määritelmän äärettömyydessä oikein.
1/3= 0,3333... \\// 0,3333...*3=0,9999...
luvussa 10 on vain yksi merkitsevä luku 1
tuon 0,9999...=1 keksijällä on varmaan hauskaa
Onko joku nyt ihan oikeasti sitä mieltä ettei tuo ole itsestään selvää?
Jos 1 olisi suurempi kuin 0,999999... niin mikä olisi erotus?
0,999999999... ja 1 esittävät samaa lukua, ja juuri nämä tapaukset 0,9999... ovat ainoat poikkeukset väitteestä "Jokaiselle reaaliluvulle on olemassa yksikäsitteinen desimaaliesitys"
Niin, ja toisin kuin Janezki väittää, tämä on matemaattinen fakta joka seuraa määritelmästä hyvin helposti. Katsopa vaikka jotakin lukuteorian kirjaa, niissä on usein käsitelty lukujärjestelmät
Aihe on jo aika vanha, joten et voi enää vastata siihen.