Edellisessä hupipulmassa FooBat kommentoi kolmella jaollisuutta. Monille on varmasti tuttu hänen mainitsemansa sääntö, että jos luvun numeroiden summa on jaollinen kolmella, luku itse on jaollinen kolmella. Itse asiassa ehto käy molempiin suuntiin, ja siis luku on jaollinen kolmella jos ja vain jos sen esityksen numeroiden summa on myös jaollinen.
(Kaikki puhe on tässä kymmenkantaisesta systeemistä. Heksagurut hiljaa taustalla.)
Näin saadaan nopea tapa tarkistaa vaikka päässälaskuna, onko luku jaollinen kolmella. Otetaan aina oikeanpuoleisin numero ja lisätään se lukuun, joka jää alkuperäisestä katkaisemalla kyseinen viimeinen numero pois. Jatketaan, kunnes jaollisuus on selvästi todettavissa.
Katkaisu tässä vastaa kokonaisluvuilla laskettua 10:llä jakoa. Siis 12345:n katkaisu on 1234 ja jäljelle jäänyt numero on 5.
Olkoon lukumme vaikka 356322.
Ensimmäinen katkaisu antaa summa 35632 + 2 = 35634
Seuraava katkaisu: 3563 + 4 = 3567
Seuraava katkaisu: 356 + 7 = 363
Seuraava katkaisu: 36 + 3 = 39
Seuraava katkaisu: 3 + 9 = 12
Viimeinen katkaisu: 1 + 2 = 3, joka on jaollinen kolmella. (Jo kohdassa 39 sen olisi nähnyt helposti.)
356322 on muuten 3 * 118774. Toista tulon tekijää ei tämä menettely löydä kuitenkaan helposti, vaikka jaollisuuden voisikin osoittaa.
Nyt menetelmän voi siirtää ratkomaan 7:llä jaollisuutta. Katkaisussa tehdäänkin niin, että katkaisu numero lisätään kerrottuna -2:lla katkaistuun lukuun.
Tarkastellaan lukua 7 * 12345 = 86415 .
Ensimmäinen katkaisu: 8641 + (-2)*5 = 8631
Toinen katkaisu: 863 + (-2)*1 = 861
Seuraava katkaisu: 86 + (-2)*1 = 84
Viimeinen katkaisu: 8 + (-2)*4 = 0, joka on jaollinen seitsemällä.
Siis lukuja katkoessa kolmella jaollisuutta tutkitaan taikaluvulla +1 ja seitsemää jaollisuutta taikaluvulla -2. Tässä taikaluku on se luku, jolla katkaistu numero kerrotaan, ennen kuin se summataan toiseen katkaistuun osaan. Alla nimitän tätä katkaisua ja summausta redusoinniksi.
Tehtävät:
a) Tarkista yllä kuvatulla tavalla, että 7*4321+1 = 30248 ei ole jaollinen seitsemällä. Sen pitää siis redusoitua pieneksi luvuksi, josta näkee, että se ei ole jaollinen seitsemällä. Käykö näin?
b) Todista, että antamani sääntö testaa tarkasti luvun jaollisuuden seitsemällä. Siis, jos ja vain jos luku on jaollinen seitsemällä, se redusoituu luvuksi, joka on jaollinen seitsemällä.
c) Tutki, onko muillakin luvuilla kuin kolmella ja seitsemällä jokin kerroin (taikaluku), joka mahdollistaa samanlaisen jaollisuustarkastelun. Miten sen voi määrittää, jos se on olemassa?
Tämä on tällaista pientä päässälaskuhubaa. Toivottavasti joku nauttii. Kaikkiin ihmisiin (plebeijit perhana!) ei valitettavasti tee vaikutusta, jos pystyy nopeasti päässä tarkistamaan, onko joku 10-numeroinen luku jaollinen seitsemällä tai vaikkapa 31:llä.
Kertausta varten: https://www.ohjelmointiputka.net/oppaat/opas.
c) ainakaan kaikilla luvuilla ei ole, esimerkkinä 5:llä jaollisuus.
Hauska tapa harjoitella päässälaskua tosiaankin...
b) Yksi tapa todistaa on käsitellä lukuja muodossa 10a + b ja a - 2b ja tutkia, mitä jakojäännöksiä a:lla ja b:llä voi olla, kun kokonaisuus on jaollinen 7:llä. Tässä täytyy todistaa seitsemän eri tapausta - keksiikö joku lyhyemmän todistuksen?
c) Näyttää vähän siltä, että kaikille parittomille luvuille voi ilmoittaa taikaluvun, kunhan luku ei ole 5:llä jaollinen. Esim. 9:lle taikaluku on 1, 11:lle -1 ja 13:lle 4. Tälle väitteelle minulla ei kuitenkaan ole vielä todistusta eikä myöskään selkeää tapaa taikaluvun etsintään.
Myöhemmin lisää. Selvästi 2:lla ja 5:llä jaollisuus näkyy jo viimeisestä numerosta. Jos luku on parillinen, sen viimeinen numero on parillinen (10-kantaiessa järjestelmässä taas kerran, yllätys!), ja vastaavasti luku on jaollinen viidellä, jos viimeinen numero on 5 tai 0. Tämän Antti ja Grez jo totesivat ohimennen.
Periaatteessa riittää vain alkulukujen tarkastelu, koska muut jaollisuudet voi tutkia tutkimalla jokaista jakajaehdokkaan alkulukutekijän jaollisuutta erikseen. Tietysti sääntöjä on muillekin luvuille, esim. yhdeksälle pätee sama summaussääntö. Jos ja vain jos luku on jaollinen yhdeksällä, sen numeroiden summakin on.
No, nyt aluksi a)-kohta, joka oli helppo.
30248 on kongruentti 1:n kanssa modulo 7 (jatkossa k x m y)
reduktio antaa: 3024 - 2*8 = 3008, joka on k 5 m 7
seuraava reduktio. 300-2*8 = 284, joka k 4 m 7
seuraava reduktio: 28 - 2*4 = 20, joka on k 6 m 7
seuraava reduktio : 2-2*0 = 2, joka on k 2 m 7
Näyttää siis siltä, että reduktio ei säilytä kongruenssia modulo jakaja, paitsi tapauksessa, jossa kongruenssi on nolla, eli jakaja jakaa testattavan luvun. Ehkä tämän huomion kautta saisi todistukseen ideaa?
No, kerron lisää myöhemmin. Annetaan vähän mahdollisuutta miettiä halukkaille.
Kopeekka kirjoitti:
30248 on kongruentti 1:n kanssa modulo 7 (jatkossa k x m y)
reduktio antaa: 3024 - 2*8 = 3008, joka on k 5 m 7
seuraava reduktio. 300-2*8 = 284, joka k 4 m 7
seuraava reduktio: 28 - 2*4 = 20, joka on k 6 m 7
seuraava reduktio : 2-2*0 = 2, joka on k 2 m 7Näyttää siis siltä, että reduktio ei säilytä kongruenssia modulo jakaja
Itse asiassa luonnollisesti se säilyttää.
30248 mod 7 = 20000 mod 7 = 1
Eli ongelmaksi muodostuu tämä että siirrät sitä lukua vasemmalle.
Jos käytetään "taikalukusääntöä" toiseen suuntaan, jolloin taikaluku 7:lle on 3 (10-7=3) niin
30248 -> 9248 -> 2948 -> 1548 -> 848 -> 288 -> 148 -> 78 -> 29 -> 15 -> 8 (-> 1)
Tai sitten
3 * 3^4 + 2 * 3^2 + 4 * 3 + 8 = 281
2 * 3^2 + 8 * 3 + 1 = 43
4 * 3 + 3 = 15
1 * 3 + 5 = 8
Yleisesti ottaen "taikaluku" voidaan muodostaa mille tahansa luvulle, joka kertomalla toisella luvulla voi muodostaa tuloksen, joka on suurempi kuin 10 ja jonka jakojäännös 10:llä on 1.
Eli 7 * 3 = 21 -> taikaluku = -2
11 -> taikaluku -1
17 * 3 = 51 -> taikaluku -5
21 -> taikaluku -2
Jos taikaluku alkaa näyttää epäkäytännölliseltä, niin siitä voidaan vähentää tai lisätä se luku, jolle taikalukua ollaan hakemassa niin monta kertaa kuin halutaan. Eli käytännössä voisi sanoa että taikaluku voi olla mikä tahansa, kunhan sen jakojäännös lähdeluvun kanssa säilyy samana.
179 * 9 = 1611 -> taikaluku -161
-161 on kuitenkin melko iso ja epäkäytännöllinen. Lisätään lähdeluku siihen ja saadaan huomattavasti näppärämpi taikaluku
=> -161 + 179 = 18
b) Olkoon n=10c+d, 0<=d<10. Tällainen esitys on aina olemassa jakoyhtälön perusteella. Osoitetaan, että 7|10c+d joss 7|c-2d. Nyt
7|c-2d <=>
7|10c-20d <=>
7|10c-20d+21d <=>
7|10c+d.
Käytännössähän tässä ei tehdä mitään muuta kuin lisätään/vähennetään jotain lähdeluvun monikertaa lukuun. Esimerkiski kopeekkan esimerkki:
7 -> taikaluku -2. Eli käytännössä aina vähennetään 21 monikertaa.
86415 - 21 * 5 = 86310
86310 - 21 * 10 = 86100
86100 - 21 * 100 = 84000
84000 - 21 * 4000 = 0
Ja ihan perimmäinen syy, miksi tämä ei toimi kymmenjärjestelmässä luvuilla 2 ja 5 on se, että ne ovat kymmenjärjestelmän kantaluvun 10 tekijöitä. Ei siis ole mitenkään mahdollista saada kertomalla aikaiseksi lukua joka päättyisi 1:een jos jokin tekijöistä on 2 tai 5.
16-järjestelmässä sen sijaan voidaan löytää taikaluku 5:lle
5 * D = 41
Taikaluku on siis -4 tai mieluummin 1 (eli -4+5)
Grez kirjoitti:
Kopeekka kirjoitti:
30248 on kongruentti 1:n kanssa modulo 7 (jatkossa k x m y)
reduktio antaa: 3024 - 2*8 = 3008, joka on k 5 m 7
seuraava reduktio. 300-2*8 = 284, joka k 4 m 7
seuraava reduktio: 28 - 2*4 = 20, joka on k 6 m 7
seuraava reduktio : 2-2*0 = 2, joka on k 2 m 7Näyttää siis siltä, että reduktio ei säilytä kongruenssia modulo jakaja
Itse asiassa luonnollisesti se säilyttää.
30248 mod 7 = 20000 mod 7 = 1
En ymmärrä mitä tarkoitat tällä. Kun siirrytään luvusta 30248 lukuun 3008, kongruenssi muuttuu. 20000 on ihan eri luku. Reduktiolla tarkoitin juuri sitä kuvauasta, jolle r (30248) = 3008. Luulen, että sinä ajattelet jotain toista tapaa tässä. Muuten olet kyllä ihan oikeassa asiassa.
Jaskan lyhyt vastaus on hyvä. Tulevassa yhteenvetoviestissäni voin vähän avata sitä niille, joille kongruenssilaskenta ei ole vielä tuttua. Vielä on luvassa myös huomio taikaluvun löytämisestä. Viikonlopuksi saatte luettavaa vielä aiheesta.
Kiitos Grez, Jaska & Antti.
Kopeekka kirjoitti:
En ymmärrä mitä tarkoitat tällä. Kun siirrytään luvusta 30248 lukuun 3008, kongruenssi muuttuu. 20000 on ihan eri luku.
Tietenkin jakojäännös muuttuu, kun poistetaan nollia lopusta. Pointti olikin, että jos olisit jättänyt ne nollat sinne, niin jakojäännös olisi pysynyt samana. Eli siis 30248 -> 2 vs. 30248 -> 20000. Syy miksi tuo jaollisuuden testaaminen toimii on juuri se, että haetaan tulosta 0, jolloin nollat voidaan jättää pois (eli 00000 on 0)
Se että et heti ymmärtänyt mitä tuolla tarkoitin, johtui siitä, että et ilmeisesti ymmärtänyt mitä tuossa taikalukusysteemissä sisäisesti tapahtuu. Voit tutustua siihenkin aikaisemmassa viestissäni.
Aiheesta:
http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.
http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.
Grez kirjoitti:
Tietenkin jakojäännös muuttuu, kun poistetaan nollia lopusta.
Kuten yllä alunperin totesin.
Grez kirjoitti:
Pointti olikin, että jos olisit jättänyt ne nollat sinne, niin jakojäännös olisi pysynyt samana.
Esitin laskutavan, jossa nollia ei jätetä sinne. Minulle riitti, että jakojäännöksen ollessa nolla se säilyy.
lainaus:
Se että et heti ymmärtänyt mitä tuolla tarkoitin, johtui siitä, että et ilmeisesti ymmärtänyt mitä tuossa taikalukusysteemissä sisäisesti tapahtuu.
Ymmärryksessäni on varmasti monia puutteita.
- - -
Deewiant linkkasi jo teoriaan, joten luontainen laiskuuteni voittaa. Tässä lyhyesti c)-kohdasta:
Taikaluku siis löytyy aina, jos jakoehdokas päättyy numeroihin 1,3,7 tai 9. Silloin se voidaan kertoa luvuilla 1, 7, 3 ja 9 (vastaavasti), jotta saadaan yhteen päättyvä luku. Se on muotoa a*10+1, ja silloin yksi taikaluku on -a. Sen voi korjata Grezin yllä esittämällä tavalla paremmaksi päässälaskun kannalta.
Sitten vielä:
Jaska kirjoitti:
Osoitetaan, että 7|10c+d joss 7|c-2d. Nyt
7|c-2d <=>
7|10c-20d <=>
7|10c-20d+21d <=>
7|10c+d.
Jaska on aivan oikeassa. Selitän tarkemmin, mitä merkkinnät tarkoittavat.
7|10c+d tarkoittaa, että seitsemän jakaa tasan luvun 10c+d. Tässä 10c on tietenkin kertolasku kymmenen kertaa c.
Jos tämä pitää paikkansa, se jakaa tasan myös luvun 10c+d+20d-20d, koska se on sama luku. Siis se jakaa tasan luvun 10c-20d +21d. Koska summan osa 21d on varmasti jaollinen seitsemällä, sen voi tiputtaa pois jaollisuustarkastelussa.
Siten 7 jakaa luvun 10c-20d, joak on 10*(c-2d). Koska seitsemällä ja kymmenellä ei ole samoja tekijöitä, täytyy seitsemän jakaa c-2d.
Merkitään siis 7 | c-2d. Tämän juuri Jaska halusi todistaa. Tein oman kertaukseni vain sattumoisin toisinpäin, koska sen voi tehdä niinkin. <=> on kaikille matemaatikoille niin rakas ekvivalenssinuoli - se kertoo, että sen molemmanpuoliset väitteet ovat keskenään samanarvoisia totuudeltaan.
Toisin sanoen, täsmälleen samoilla ehdoilla lukujen valinnan suhteen, 7 jakaa redusoimattoman luvun 10c+d, jos ja vain jos se jakaa redusoidun luvun c-2d.
(Jaskan viestissä myös määriteltiin nämä c:t ja d:t.)
Aihe on jo aika vanha, joten et voi enää vastata siihen.